北大2010年计算机数学基础试卷

[e-mail]整理2010年北京大学硕士研究生入学考试计算机数学基础试卷一、高等数学部分（共60分）1（12分）求21(sin)lim(1sin)(1sin)xxxx其中,02（12分）2100()(tan1)(tan2)(tan100)444tttft求'(1)f3（12分）()fx在[0,]上连续，(0,)内可到，且(0)0f，证明(0,)使得'2()tan()2ff4（12分）设函数10()!knnZken（1）求(0)Z，(1)Z，(2)Z的值；（2）证明当K取正整数时()Zk也为正整数5（12分）证明：222200sincos11xxdxdxxx二、集合论与图论部分（60分）1（20分）设集合A非空，定义AA（或AA）上的二元关系R如下：,fgRranffang试证明：（1）R是等价关系；（2）()/(){}AARPA2（10分）是否存在两个集族AB使AB并且BA？为什么？3（30分）设有向图{1,2,},{,|}Gnijijij和同奇偶，或和不同奇偶[e-mail]整理试回答以下问题：（1）G是竞赛图吗？为什么？（2）G是欧拉图吗？为什么？（3）G是哈密顿图吗？为什么？（4）G的底图（或基图）是可平面图吗？为什么？（5）G是强连通图吗？为什么？三、代数结构部分（30分）1（20分）简答以下小题：（1）设整数集合Z上的*运算定义如下：,xyZ*xyxyxy其中等号右边的运算为整数的加、减、乘法运算。说明*运算是否满足交换律，结合律？（2）设11S且的指标是211234，求的阶。（3）设{,}Aab问A上可定义多少个二元运算？其中多少个是可交换的？多少个是幂等的？（4）设Ga是无限循环群，试给出G的商群的一般形式。2（10分）设H是群G的一个子群，如果对于G的自构f都有()fHH，则称H是G的一个特征子群。（1）证明G的特征子群一定是正规子群。（2）G的正规子群一定是特征子群吗？为什么？