古典概型经典习题

1．在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为(C)A.120B.115C.15D.162．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“One”，“World”，“One”，“Dream”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“OneWorldOneDream”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为(A)A.112B.512C.712D.563．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(C)A.13B.12C.23D.344．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是(C)A.15B.310C.25D.125将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b、c则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为___1936_________．6若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是___29_____．7先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x、y，则满足log2xy＝1的概率为__112______．8有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1、2、3、4，把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面写有的数字之和能被5整除的概率为___14_____．9为积极配合深圳2011年第26届世界大运会志愿者招募工作，某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，4名女同学共6名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的．(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率；(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率．解答：(1)将2名男同学和4名女同学分别编号为1,2,3,4,5,6(其中1,2是男同学，3,4,5,6是女同学)，该学院6名同学中有4名当选的情况有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，(3,4,5,6)，共15种，当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，共8种，故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P(A)＝815.(2)当选的4名同学中至少有3名女同学包括3名女同学当选(恰有1名男同学当选),4名女同学当选这两种情况，而4名女同学当选的情况只有(3,4,5,6)，则其概率为P(B)＝115，又当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P(A)＝815，故当选的4名同学中至少有3名女同学的概率为P＝815＋115＝35.10已知三个正数,,abc满足abc.(1)若,,abc是从129,,101010中任取的三个数，求,,abc能构成三角形三边长的概率；(2)若,,abc是从(0,1)中任取的三个数，求,,abc能构成三角形三边长的概率.解:(1)若,,abc能构成三角形，则4,10abcc.①若410c时，32,1010ba.共1种；②若510c时。432,,101010ba.共2种；同理610c时，有3+1=4种；710c时，有4+2=6种；810c时，有5+3+1=9种；910c时，有6+4+2=12种.于是共有1+2+4+6+9+12=34种.下面求从129,,101010中任取的三个数,,abc(abc)的种数：①若110a，210b，则39,,1010c，有7种；349,,,101010bc，有6种；410b，59,,1010c，有5种；……；89,1010bc，有1种.故共有7+6+5+4+3+2+1=28种.同理，210a时，有6+5+4+3+2+1=21种；310a时，有5+4+3+2+1=15种；410a时，有4+3+2+1=10种；510a时，有3+2+1=6种；610a时，有2+1=3种；710a时，有1种.这时共有28+21+15+10+6+3+1=84种.∴,,abc能构成三角形的概率为34174824.(2)abc、、能构成三角形的充要条件是0101abcabcc.在坐标系aOb内画出满足以上条件的区域(如右图阴影部分)，由几何概型的计算方法可知，只求阴影部分的面积与图中正方形的面积比即可.又12S阴影，于是所要求的概率为112.12P11.设函数axxxaxxf若),1(1)(是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取一个数，求bxf)(恒成立的概率。解：,0,1ax111)(xxaxxf111xax…………………………2分axxa111)1(,)1(122aaa…………………………4分,)1(min)(2axf于是babxf2)1()(恒成立就转化为成立。……………………6分设事件A：“bxf)(恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，3），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；…………………………8分事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个……………………10分由古典概型得.651210)(AP……………………12分