南昌大学2005年常微分方程期末试题(B)及答案

第1页共6页陇东学院2006—2007学年第二学期数学与应用数学专业常微分方程课程期末试卷（B）命题教师教研组长审核签字院系部负责人审批签字考试班级考试人数考试日期需答题纸页数李相锋题号一二三四五六七总分得分总分教师复核教师一、选择题（每题3分，共15分）。1、方程0,ddln,yxyy当y=0当y0满足解存在惟一性定理条件的区域是（）．（A）xoy平面（B）左半平面（C）右半平面（D）除x轴外的全平面2、221212(,)Vxxxx是一个()的李雅普诺夫函数.（）(A)正定的(B)负定的(C)常正的(D)常负的3、下列方程中无奇解的是.（）（A）233yy（B）21yy（C）22yxyy（D）22yxy4、用待定系数法求方程xyysin2的非齐次特解1y时，应将特解1y设为（）．（A）xAysin1（B）xBxAycossin1（C）xBycos1（D）)cossin(1xBxAxy5、n阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．()（A）1n维（B）1n维（C）n维（D）2n维二、解下列一阶微分方程（每小题5分，共25分）1、求解方程xydyedx；2、求解方程22dyxxyydx；3、求解方程2dyyxdxx得分评卷教师得分评卷教师试卷密封装订线院系班级姓名学号第2页共6页4、解方程22(363)(23)0xxyydxxxydy5、求解方程2212yyxyx三、解下列方程组（每小题8分，共16分）。1、求方程组yxtyyxtx8dd3dd的通解；2、求方程组11232123312332dyyyydtdyyyydtdyyyydt的通解，得分评卷教师第3页共6页四、解下列高阶方程（每小题8分，共24分）。1、求方程39130yyyy的通解，2、求方程(4)45440yyyyy的通解，3、求方程2552yyxx的通解，五、应用题（共10分）。用拉普拉斯变换求解初值问题：3322txxxe；(0)0x，(0)0x。六、证明题（共10分）。考察系统dxxdtdyydt的零解的稳定性与渐近稳定性。得分评卷教师得分评卷教师得分评卷教师第4页共6页陇东学院2006—2007学年第二学期数学与应用数学专业常微分方程课程期末试卷（B）一、选择题（每题3分，共15分）。1、A2、A3、D4、B5、C。二、解下列一阶微分方程（每小题5分，共15分）1、（5分）求解方程xydyedx；2、（5分）求解方程22dyxxyydx；解令xuy，则xuxuydd，代入原方程，得2dduuxuxu，2dduxux显然，0u为方程的一个解，从而0y为原方程的一个解。当0u时，分离变量，再积分，得Cxxuudd2Cxuln1，Cxuln1即通积分为：Cxxyln3、求解方程0dd)e(2yxxyxy解积分因子为21)(xx原方程的通积分为1012dd)(eCyxxyyxx即e,xyCx4、（5分解方程22(363)(23)0xxyydxxxydy5、求解方程2212yyxyx解令xxpy，则，原方程的参数形式为2221xxppypyxx由xyydd，有xppxpxxpd)d2()d(整理得0)1dd)(2(xpxp由20px，解得2xp，代入参数形式的第三式，得原方程的一个特解为24xy由01ddxp，解得Cxp，代入参数形式的第三式，得原方程通解为2221CCxxy三、解下列方程组（每小题8分，共16分）。第5页共6页1、求方程组yxtyyxtx8dd3dd的通解；解特征方程为0)5)(1(1813EA特征根为11，5211对应特征向量为4152对应的特征向量为21所以，原方程组的通解为21e41e521ttCCyx2、（8分）求方程组11232123312332dyyyydtdyyyydtdyyyydt的通解，四、解下列高阶方程（每小题8分，共24分）。1、（8分）求方程39130yyyy的通解，解特征方程为：3239130，即2(1)(413)0，由此得特征根为11，223i，323i因此，基本解组为xe，2cos3xex，23xesixx所以通解为22123cos33xxxyCeCexCesixx。2、（8分）求方程(4)45440yyyyy的通解，解特征方程为：43245440，即22(2)(1)0，由此得特征根为122，3i，4i。因此，基本解组为2xe，2xxe，cosx，sinx所以通解为21234()cossinxyeCCxCxCx。3、（8分）求方程2552yyxx的通解，解对应齐次方程的特征方程为250，即(5)。特征根为10，25，因此齐次方程的通解为512xyCCe由于0是单特征根，故已知非齐次方程有形如21()yxAxBxC的特解。将它代入已知方程，并比较x的同次幂系数，得13A，0B，0C，故3113yx。于是，可得通解为351213xyxCCe五、应用题（共10分）。用拉普拉斯变换求解初值问题：3322txxxe；(0)0x，(0)0x。六、证明题（共10分）。第6页共6页考察系统dxxdtdyydt的零解的稳定性与渐近稳定性。