卷积的物理意义是什么

卷积的物理意义是什么？叽叽拨叽叽丁建辉对于初学者，我推荐用复利的例子来理解卷积可能更直观一些：小明存入100元钱，年利率是5%，按复利计算（即将每一年所获利息加入本金，以计算下一年的利息），那么在五年之后他能拿到的钱数是，如下表所示：将这笔钱存入银行的一年之后，小明又往银行中存入了100元钱，年利率仍为5%，那么这笔钱按复利计算，到了第五年，将收回的钱数是，我们将这一结果作为新的一行加入上面的表格中：以此类推，如果小明每年都往银行中存入新的100元钱，那么这个收益表格将是这样的：可见，最终小明拿到的钱将等于他各年存入的钱分别计算复利之后得到的钱数的总和，即：用求和符号来简化这个公式，可以得到：在上式中，为小明的存钱函数，而为存入银行的每一笔钱的复利计算函数。在这里，小明最终得到的钱就是他的存钱函数和复利计算函数的卷积。为了更清晰地看到这一点，我们将这个公式推广到连续的情况，也就是说，小明在从到的这一段时间内，每时每刻都往银行里存钱，他的存钱函数为，而银行也对他存入的每一笔钱按复利公式计算收益：，则小明到时间将得到的总钱数为：这也就是卷积的表达式了，上式可以记为。相信通过上面这个例子，大家应该能够很清晰地记住卷积公式了。下面我们再展开说两句：如果我们将小明的存款函数视为一个信号发生（也就是激励）的过程，而将复利函数视为一个系统对信号的响应函数（也就是响应），那么二者的卷积就可以看做是在时刻对系统进行观察，得到的观察结果（也就是输出）将是过去产生的所有信号经过系统的「处理／响应」后得到的结果的叠加，这也就是卷积的物理意义了。卷积经典例子比如说你的老板命令你干活，你却到楼下打台球去了，后来被老板发现，他非常气愤，扇了你一巴掌（注意，这就是输入信号，脉冲），于是你的脸上会渐渐地（贱贱地）鼓起来一个包，你的脸就是一个系统，而鼓起来的包就是你的脸对巴掌的响应，好，这样就和信号系统建立起来意义对应的联系。下面还需要一些假设来保证论证的严谨：假定你的脸是线性时不变系统，也就是说，无论什么时候老板打你一巴掌，打在你脸的同一位置（这似乎要求你的脸足够光滑，如果你说你长了很多青春痘，甚至整个脸皮处处连续处处不可导，那难度太大了，我就无话可说了哈哈），你的脸上总是会在相同的时间间隔内鼓起来一个相同高度的包来，并且假定以鼓起来的包的大小作为系统输出。好了，那么，下面可以进入核心内容——卷积了！如果你每天都到地下去打台球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不过当老板打你一巴掌后，你5分钟就消肿了，所以时间长了，你甚至就适应这种生活了……如果有一天，老板忍无可忍，以0.5秒的间隔开始不间断的扇你的过程，这样问题就来了，第一次扇你鼓起来的包还没消肿，第二个巴掌就来了，你脸上的包就可能鼓起来两倍高，老板不断扇你，脉冲不断作用在你脸上，效果不断叠加了，这样这些效果就可以求和了，结果就是你脸上的包的高度随时间变化的一个函数了（注意理解）；如果老板再狠一点，频率越来越高，以至于你都辨别不清时间间隔了，那么，求和就变成积分了。可以这样理解，在这个过程中的某一固定的时刻，你的脸上的包的鼓起程度和什么有关呢？和之前每次打你都有关！但是各次的贡献是不一样的，越早打的巴掌，贡献越小，所以这就是说，某一时刻的输出是之前很多次输入乘以各自的衰减系数之后的叠加而形成某一点的输出，然后再把不同时刻的输出点放在一起，形成一个函数，这就是卷积，卷积之后的函数就是你脸上的包的大小随时间变化的函数。本来你的包几分钟就可以消肿，可是如果连续打，几个小时也消不了肿了，这难道不是一种平滑过程么？反映到剑桥大学的公式上，f(a)就是第a个巴掌，g(x-a)就是第a个巴掌在x时刻的作用程度，乘起来再叠加就ok了，大家说是不是这个道理呢？我想这个例子已经非常形象了，你对卷积有了更加具体深刻的了解了吗？扔一块石头进湖里，会产生一个水波。数学上：好了，这时候水波就是g(t)，扔进去的石头就是一个冲击函数。物理上：那如果连着扔好多块呢？产生的水波就是一个个石头产生的水波的叠加吧。（图不画了自己脑补吧╮(╯_╰)╭）只是这时候因为扔进去的石头有先后顺序，最近扔进去的那块石头对现在的水波影响比较大咯。（这就是g(t)要反一下的原因，g(t)在t=0处就是石头刚扔进去时候水的反应）数学上：这时候这一个个石头就是f(t)，然后现在的水波，就是这一块块石头激起的水波的叠加，也就是f(t)与g(t)的卷积，只是这个时候f(t)是一个离散的函数罢了。看，因为我们扔石头是有先后的咯，所以产生的水波叠加实际上就是一个个有时间差的g(t)的简单叠加咯。物理上：那那...如果我们不扔石头了，我们...尿尿呢(/ω・＼)...尿尿也会激起水~~波~~荡~~漾~~吧_(:3」∠)_...你看我们尿尿的时候，水波会不停地产生呢...数学上：这时候呢，我们尿的尿就是一个f(t)了...如果我们尿尿的力道忽大忽小...那么f(t)就会一会变大一会变小。（所以我们可以尿出我们想要的函数f(t)...嗯(｡・`ω´･)）然后这时候g(t)是什么呢。。。你可以理解为一滴尿液滴到水里产生的水波呢~~然后这忽大忽小的尿液，在湖里产生了连续不断的水波就是f(t)*g(t)，卷积啦！（貌似暴露了我是一个男生这种事情...女生嘘嘘的时候应该不会观察水波吧...)上面足够解释物理现象中的卷积了。。物理意义…不知楼主问的是不是卷积在信号系统中输入输出计算的意义。我觉得要想理解好卷积首先要理解好一个和线性代数相关的概念：线性映射。什么是线性映射呢？设想有个向量v通过某种映射可以从v得到w，记为w=T(v)如果对于任意v，T都满足线性代数里两条巨基本的性质：1)T(u+v)=T(u)+T(v)2)aT(v)=T(av)那么就称T是一个线性映射，其实就是简单的线性代数嘛所以如果我们把输入信号和输出信号分别和v和w对应起来的话，似乎就是个线性映射系统啊。当然实际上没有这么简单，还多了那么一点东西，所以在信号与系统里，叫做线性时不变(LinearTime-Invariant,LTI)系统。什么叫时不变呢？以冲击函数为例子说明一下，假设在t=0的位置上有个单位冲击，在某个LTIsystem中，造成的响应是在t=1到t=2区间上的某种曲线。时不变的意思就是如果把这个t=0上的单位冲击移动到任意时间点，比如t0去，那么响应的曲线也会响应地移动到t=t0+1到t=t0+2的位置上去。结合之前线性系统的定义，整个系统是线性的，所以是线性+时不变。其实从不太严谨的线性代数角度也可以理解线性时不变系统，本质还是线性映射。比如考虑对如下对一个向量的变换：矩阵的特点是紧贴着对角线下的元素是1，其他的元素都是0，得到的结果是x“向下移”了一个位置。如果我们在输入信号离散的时间轴上取一段，想象每个离散的时间点就是向量的一维，那么可以把这段信号看做一个向量，用一个同样大的具有如上特点的矩阵与这个向量相乘，得到的结果就是这个输入信号在时间轴上向后“移动了”一位，那么如果变换矩阵是如下的形式呢？可以看到，x移动了两个单位，这似乎就是时间轴上的移动操作啊。那如果变换矩阵再换换样子呢？是不是觉得眼熟，其实这种斜边元素相等形式的矩阵就是一个不严谨的简单的线性时不变系统。更不严谨地说，如果我们把每个时间点都理解成一个向量中的一维的话，矩阵乘法操作的本质就是将这个向量投射到对应的维上，并且矩阵中的每个向量的Norm就是投影之后的系数。总之，这就是线性时不变，说白了还是线性两个字最重要，于是，卷积求响应就很清晰了，就是简简单单的加法而已：已知冲激信号在输出中的响应的情况下，给定一个输入信号，只要把输入信号看成一个个时间点上的冲激信号的叠加，直接在输出的t时间点上把这所有冲激信号的响应简单加起来，就可以了。写出来的话就是：(注意这里t和τ∈N)对应前面解释来看，其中f(τ)是输入信号在τ位置的值，也就是和单位冲激信号的比值，作为系数，而h(t-τ)则是距离t时刻τ那么多时间点上的一个冲激信号在t时刻所对应的响应。我这里说的都是离散情况举例，连续情况可以脑补推广。总之，不严谨地说，都是线性代数。编辑于2014-03-0315条评论感谢分享收藏•没有帮助•举报•作者保留权利250赞同反对，不会显示你的姓名北落，数学爱好者，电子工程专业JimLeo、judgetan、知乎用户等人赞同有一个挺有意思的例子，我以前在万门大学童哲校长的公开课上看到的：我们在研究一个人一天24小时肚子里还剩多少东西，记为函数（小时）我们有如下信息：此人吃下去的东西在肚里按指数衰减，即如果他肚子里现在有食物量1，剩余量按消化时间的变化便是，其中为衰减常数;此人今天吃饭的量是：在早上7点、中午12点和晚上18点各进餐，并假设在其他时间没有吃东西。要写作函数的话，应该是，其中是Dirac脉冲函数。如果不熟悉的话，可以认为此人在饭点儿瞬间往肚子里塞那么多食物。请看图：图：“消化规律”可以看到：大概五个小时肚子里的东西就差不多消化完了。图：“今儿的吃法”好了，我们现在看考察一下，比如说下午15点，这人肚子里还剩多少东西：早饭吃的，经过15－7＝8小时的消化（按指数衰减），还剩;中饭吃的，经过15－12＝3小时的消化，还剩；晚饭还没吃呢，自然不算。加起来就是：考察任意时间，就有卷积你可以仔细看一下，上面t＝15的情况可以从这个式子里面导出［注1］。也请看图：图：（上）吃法儿；（下）肚里食物量其实在前面的讨论里面，我们把“吃饭的量”看作输入，“肚子里还剩的食物”看作输出。并且我们假设：消化系统是线性的，即：如果（1）按吃法产生肚子里食物量变化；并且（2）按吃法产生肚子里食物量变化，那么对任意常数a,b，按吃法会产生肚子里食物量变化.消化系统是时不变的，即：对任意时间间隔，若按吃法产生肚子里食物量变化，则按吃法将产生肚子里食物量变化.在这样线性时不变（LinearandTime-Invariant,LTI）系统里，上面的函数：此人肚子的”消化规律“是系统的冲激响应；此人今天”吃饭的量“是激励（输入）；我们考察的肚子里”还剩的食物量“是响应（输出）。任何一个线性时不变系统都可以由冲激响应完全描述。它的输入输出关系正是卷积：/*-----------------------------------------------------------*/上面有几个参数可以变化，我们来玩一玩：比如说：这兄弟最近消化不大好，也就是冲激响应里面的衰减系数比较小，那么会怎么样呢？（最近消化不大好）上：吃法儿；下：肚里食物量你可以看到前一顿儿还没消化完，就到吃下一顿了。如果按原计划吃，实在要把肚子撑坏。。（峰值大概12，比上面的结果大了很多）再来：其实咱吃饭不用那么急，一下子就揣肚子里。比如：这兄弟花了半小时吃饭，像这样：（花半小时吃饭，而且在正常消化状态）上：吃法儿；下：肚里食物量你可以看到，峰值（大概8）进一步减小了，细嚼慢咽就是好。再吃慢一点呢？（花一个小时吃饭，而且在正常消化状态）上：吃法儿；下：肚里食物量嗯，对肚子压力更小一点了。那么过年的时候是咋样呢？（过年的时候，每顿花三个小时，吃得多而且肠胃状态不那么好）上：吃法儿；下：肚里食物量可以看到，这个峰值和最前面那种瞬间吃好饭的状况差不多了，而且过了半夜还没消化完。所以，不要暴饮暴食噢！最后这一部分有点娱乐性质，主要是画图的时候玩儿上了。。哈哈并且用线性时不变的模型来模拟人吃饭消化，可能有不妥，比如：人的胃不是线性的，因为有总容量的限制，而且估计也不是时不变，因为吃的太多时肚子消化能力大概会变弱。拿这个仅仅用于举例子咯。希望有帮到你。也请各位朋友赐教！/*-----------------------------------------------------------*/［注1］t＝15的情况：激励（输入）冲击响应（系统）求响应（输出）这里用到：当时：注意：编辑于2015-04-3026条评论感谢分享收藏•没有帮助•举报•作者保留权利9赞同反对，不会显示你的姓名maiqiao曹伯谱、李敏镐、Kingi