在一般的滑动窗口过程的注意事项

*数学赛克勒学校及Blavatnik计算机学院，特拉维夫大学，特拉维夫69978，以色列。电子邮件：[e-mail]。研究由美国和以色列BSF拨款支持的部分，由ISF授权，由赫尔曼·闵可夫斯基密涅瓦中心几何在特拉维夫大学和以色列我核计划。数学科学，雷霍沃特76100，以色列魏茨曼研究所†系。电子邮件：阿辖[e-mail]。由以色列科学基金会的资助部分支持。在一般的滑动窗口过程的注意事项诺佳阿龙·阿辖N.Feldheim†2014年2月11日摘要设映射f：RK→R是可衡量的功能，并让{UI}i∈N是独立同分布的序列随机变量。考虑随机过程滋=F（UI，...，UI+K-1）。我们表明，对于所有ℓ，有一个正的概率，均匀f中，为Z1，...，Zℓ是单调。我们给这个概率的上限和下限，并得出推论为K-块因子进程，以有限的范围内。证明是基于从拉姆齐理论组合结果连续概率的境界的应用程序。1引言本说明的目的是带给概率学家的注意力从工具拉姆齐理论概率问题的应用程序上的滑动窗口的进程。这些结果可以进一步扩展相对容易给其他噪声类型变量。设f：氡→R是可衡量的功能，并让{UI}i∈N是独立同分布的序列随机变量。考虑随机过程齐夫（UI，...，UI+K-1）。这种过程被称为K-块的因素。我们主要观察的是以下几点：定理1对于每一个K，ℓ∈ñ存在P=PK，ℓ0，使得对于每一个可衡量的F：RK→R，下列情况之一成立：无论是P（Z1fZ2F···Zℓf）点，或P（Z1f=Z2F=···=Zℓf）点，或P（Z1fZ2F···Zℓf）页。这个定理是以下独立对应的必然结果：定理2.对于每一个K，ℓ，R∈N存在P=PK，ℓ，R0，使得对于每一个可衡量的˚F，R→{1，···，R}下式成立：P（Z1f=Z2F=···=Zℓf）点换句话说，每k因子的概率是恒定的长度ℓ的离散间隔从零界距离。使用证明定理2定理1：设k，ℓ，g：RK+1→{-1,0，1}通过*数学赛克勒学校及Blavatnik计算机学院，特拉维夫大学，特拉维夫69978，以色列。电子邮件：[e-mail]。研究由美国和以色列BSF拨款支持的部分，由ISF授权，由赫尔曼·闵可夫斯基密涅瓦中心几何在特拉维夫大学和以色列我核计划。数学科学，雷霍沃特76100，以色列魏茨曼研究所†系。电子邮件：阿辖[e-mail]。由以色列科学基金会的资助部分支持。-1g（X1，...，XK+1）=01∈N，并设f：RK→R.我们定义了一个新的功能F（X1，...，XK）F（×2，...，XK+1）F（X1，...，XK）=F（×2，...，XK+1）F（X1，...，XK）F（×2，...，XK+1）的ℓG：RK+1→{-1，0，1}通过-1克（X1，...，XK+1）=01由定理2存在正P=PK+1，ℓ-1,3-使得下列情况之一成立：该定理如下。的特定情况下R=2，其促使我们对问题的兴趣，呈现在下面的推论。推论3.对于每一个K，ℓ∈ñ存在P=PK，ℓ0，使得对于每一个可衡量的F：RK→{0,1}下式成立：P（Z1f=Z2F=···=Zℓf）点的p为k在上述定理的函数的衰变是非常快的。特别是在p其中定理2的产量是M对于M满足ℓrM=22。0.2。|{Z}的K-2倍任意P(Z1g=Z2g=···=Zℓg−1=−1)p,或P(Z1g=Z2g=···=Zℓg−1=0)p,或P(Z1g=Z2g=···=Zℓg−1=1)p.*数学赛克勒学校及Blavatnik计算机学院，特拉维夫大学，特拉维夫69978，以色列。电子邮件：[e-mail]。研究由美国和以色列BSF拨款支持的部分，由ISF授权，由赫尔曼·闵可夫斯基密涅瓦中心几何在特拉维夫大学和以色列我核计划。数学科学，雷霍沃特76100，以色列魏茨曼研究所†系。电子邮件：阿辖[e-mail]。由以色列科学基金会的资助部分支持。这种塔的依赖实际上是在至关重要的，因为下面的命题说明：定理4.对于所有足够大K，存在F：[0，1]ķ→{0,1}，使得对于该过程{Zif}上定义如上相对于均匀的变量UI[0，1]以下认为：2研究背景和目的K-块因素的研究最初是作为一个更广泛的尝试以了解米依赖过程的一部分。这些概括在离散的时间独立的过程，通过要求其通过一个时间间隔与长度分开超过米每两个事件将是独立的。这样的方法产生自然地在重正化理论扩展限制（例如参见[2]）。很显然，每k块因子（K-1）依赖。为一个而反过来也推测持有，到，在某些文件，日k块因素结果表示为对（K-1）的结果的程度依赖性过程，空调的猜想的有效性（例如，参见[5]）。而对于高斯过程，每m个变化的过程的确是一个M+1块的因素，我们现在知道，一般的M-依赖的过程，这是不正确的。易卜拉欣莫夫和林尼克在1971年已经说，应该存在1相关的过程，是不是2块因素，但没有提供实例。第一个例子是由阿伦森和吉来特在公开的[1]1987年以后，在[3]，伯顿古莱特和Meester的表明，存在一个1依赖性方法，该方法是不对任意k的k块的因素。二进制块的因素，即，块因素与范围内的一个属性{0，1}，它已被广泛研究，是观察ř连续出现值b的过程中的概率。此事件被称为B-S的R-RUN。詹森，在[5]，研究了在k-因子零在其中每两个那些被保证用k来分离的运行上的统计信息的收敛-1零。德Valk酒店，在[7]，计算中的一些特定看到的值之一的边缘概率2-运行的最小和最大可能的概率。这些研究产生以下自然的问题：是否有可能创造某个k几乎肯定具有零既不是R-RUN，也不是那些在R-RUN二进制K-块因子？在这里，我们表明，这是不可能的。结果是双重的。一方面，看到一个任意长的运行的可能性从零界而去。另一方面，它可以是非常小的。3证明的结果本节专门定理2和4的证明。为此，我们将用经典的结果在脱Bruijn的图形，其证明我们提出的完成。对于一个有向图G让χ（G）中，G的色数，表示的颜色G的顶点，使得没有两个相邻顶点得到相同的颜色需要的颜色数的最小值。定义D（K，M），m个码元的增加k维脱Bruijn的曲线图，是向图，其顶点是长度为k，在{1元素的所有的严格递增序列。。。，米}，使得在从序列{A1，...，AK}对序列{B1有向边，...，bk的}，当且仅当双向=AI+1对所有i∈{1，。。。，K-1}。*数学赛克勒学校及Blavatnik计算机学院，特拉维夫大学，特拉维夫69978，以色列。电子邮件：[e-mail]。研究由美国和以色列BSF拨款支持的部分，由ISF授权，由赫尔曼·闵可夫斯基密涅瓦中心几何在特拉维夫大学和以色列我核计划。数学科学，雷霍沃特76100，以色列魏茨曼研究所†系。电子邮件：阿辖[e-mail]。由以色列科学基金会的资助部分支持。我们将充分利用这一事实，即D（K+1，m）为有向线图D（K，M）的。也就是说-所述映射φ：（A1，...，AK+1）→（（A1，...，AK），（A2，...，AK+1））是双射的，映射每个顶点的D-第（k+1，米）到D的边缘（K，M）。定理A.LOG2χ（D（K，M））≤χ（D（K+1，M））。证明。使用的事实，D（K+1，m）为有向线曲线D（K，M）的，我们得到的D的顶点着色第（k+1，m）为相当于D的边染色（K，M），其中有长度2。因此没有单色向路径，它足以表明，对于E的每一个这样的着色（D（K，M））用q颜色，存在V的着色（D使用2Q颜色（K，M））。令C：E（D（K，M））→{1，。。。，Q}为D（K，M）如上述的边染色。构建C'：V（D（K，M））→p{1，。。。，Q}使用的{1的子集，。。。，Q}如颜色以下面的方式。定义C'（U）={C（U，V）：（U，V）∈E（D（K，M））}。一看就知道C'是一个正确的顶点着色，注意观察，如果C'（U）=C'（v）和（U，V）∈E（D（K，M）），那么C（U，V）∈Ç'（v）也意味着存在（V，W），以使得C（V，W）=C（U，V），与假设矛盾。由于明确χ（D（1，M））=M，我们得到了对于k≥2，有χ(D(k,m))≥log2(k−1)(m),其中log（2K）代表的功能LOG2的k次叠代。我们现在使用下面的定理Chv'atal[4]。定理B（Chv'atal）。设D是一个有向图，让ℓ，R∈N使得χ（D）ℓr;再有R色的任何边染色的D包含ℓ边缘单色向路径。结合上述证明我们可推出：D（K+1，m）为有向线曲线D（K，M）中，结合（1）便可得到如下结论：推论5.鉴于K，ℓ河∈N，令M是整数，使得数（2K-2）（M）=ℓr。则D（K，M）的顶点的任何的r-着色包含ℓ顶点的单色向路径。使用这一点，我们已经准备好来证明定理2。定理2.设R∈N的证明，令f：[0,1]ķ→{1，。。。，R}是一个可衡量的功能，在[0,1]和{齐夫（UI，...，UI+K-1）}i∈Z用户界面统一。注意，由于测集的R和在[0,1]是同构的，我们选择的UI分布的不限制我们的证明的通用性。选择M=M（K，ℓ，R）作为推论5获得：其中，在第二行中的平等，首先选择一个随机IID获得在值[0，1]，然后通过分配一组随机升+K-1其中的变量X1，。。。，XL+K-1均匀随机。*数学赛克勒学校及Blavatnik计算机学院，特拉维夫大学，特拉维夫69978，以色列。电子邮件：[e-mail]。研究由美国和以色列BSF拨款支持的部分，由ISF授权，由赫尔曼·闵可夫斯基密涅瓦中心几何在特拉维夫大学和以色列我核计划。数学科学，雷霍沃特76100，以色列魏茨曼研究所†系。电子邮件：阿辖[e-mail]。由以色列科学基金会的资助部分支持。1k现在，对于给定的Y=（Y1，...，YM）∈[0，1]M，则内总和计数的单色向路径中D（K，M），数量由着色时c(a1,...,ak)=f(ya1,...,yak).这是的r的着色，因此由上述推论，该内总和是至少1，我们得出如下结论：3.1Tower依赖关系是至关重要的此小节包含定理4的证明。对于i1，2-塔功能，TI，表示该函数满足钛（k）的=提后-1（k）的，和T1（k）的=K。此外，回想起m码元的增加k维解Bruijn的曲线图是在本节的开头所定义的标记：d（K，M）。在我们的证明，我们使用Moshkovitz和夏皮拉以下引理（参见[6，推论3]）。引理C.存在n√0∈N使得对任意k≥3，Q≥2和nN0，存在D（K，TK-1（NQ-1/8））的符合Q颜色的边染色它包含长度为n的无单色路径。回顾的D的边染色（K-1，M）相同的D顶点着色剂（K，M），并插入Q=2，N=K引理C，我们得到以下有用的命题。命题6.对于每一个足够大的K，存在（，TK-2（K/8）K），使得长度为k的没有路径是单色的顶点2-着色的D。我们现在准备好证明定理4定理4的证明令M=TK-2（K/8），并设g是由所述的色彩顶点2着色D（K，M）的{0，1}，使得长度为k的没有路径是单色如存在由命题6.定义H：{1，。。。中，M}→{0,1}如下：g(z1,...,zk)z1···zkh(z,...,z)=g(zk,...,z1)z1···zk0∃iƒ=js.t.zi=zjα(z2,z3)其他,*数学赛克勒学校及Blavatnik计算机学院，特拉维夫大学，特拉维夫69978，以色列。电子邮件：[e-mail]。研究由美国和以色列BSF拨款支持的部分，由ISF授权，由赫尔曼·闵可夫斯基密涅瓦中心几何在特拉维夫大学和以色列我核计划。数学科学，雷霍沃特76100，以色列魏茨曼研究所†系。电子邮件：阿辖[e-mail]。由以色列科学基金会的资助部分支持。