单自由度系统的自由振动A

第一章单自由度系统的自由振动单自由度系统最简单、最基本的振动系统线性系统：动力学方程为常系数线性微分方程)(tfkxxcxm03xaxx非线性系统:动力学方程为非线性微分方程自由振动自由振动是指系统受初始扰动后，仅靠系统自身恢复力维持的振动。无阻尼自由振动有阻尼自由振动或0)(xfxm0kxxm0kxxcxmch1单自由度系统的自由振动—讨论的内容单自由度系统自由振动的运动方程单自由度系统自由振动运动方程的解解的一般形式自由振动的频率影响自由振动参数的因素单自由度系统自由振动的运动规律对初始条件的响应求解无阻尼单度系统自由振动问题的能量法无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能T与势能V之和保持不变。动能为零时势能达到最大值。将动能取最大值时的势能取作零，则有maxmaxVT简谐振动及其表示方法三角函数表示法旋转矢量表示法旋转矢量投影法复数表示法三角函数表示法物体作简谐振动时，其位移可表示为谐波函数xAtcos或xAtsin周期：振动一次所需的时间T,单位：秒（s）角频率（圆频率）ω:振动矢量每秒转过的角度（弧度），单位:弧度／秒（rad/s）频率：每秒振动的次数f，单位：赫兹（Hz）（s-1）f22f21fT三角函数表示法（续）简谐振动的速度)2cos(sintAtAdtdxx简谐振动的加速度)cos(cos2222tAtAdtxdx作简谐振动的线性系统，其位移、速度、加速度均为同频率简谐函数；相位角：速度超前位移π/2；加速度超前位移π，超前速度π/2简谐振动的三要素：频率、振幅、初始相位)sin(tAxxAtcos旋转矢量表示法—旋转矢量投影法长度为A的矢量以匀角速度ω在平面上绕定点O逆时针旋转，该矢量在直角坐标轴上的投影均可表示简谐运动。频率：ω；幅值：A；初始相位：t=0时矢量与坐标轴的夹角。1．两个（或两个以上）同频率简谐振动的合成。2．直观表示简谐振动位移．速度．及加速度之间的相对关系。)sin(tAy)cos(tAxOxy121A2AAφω旋转矢量表示法—旋转矢量投影法1．两个（或两个以上）同频率简谐振动的合成。2．直观表示简谐振动位移．速度．及加速度之间的相对关系。OxyAφωxωAxxωA2复数表示法长度为A的矢量以匀角速度ω在复平面上绕定点O逆时针旋转，该矢量在实轴及虚轴上的投影与矢量端点处复数z的实部和虚部相对应。复数z的实部及虚部均可表示简谐运动。tiAtAAzetisincos特点：利用复数（求导）运算的特点可方便地表示速度和加速度。ziAeidtdzztizizAedtzdzti22222)(无阻尼自由振动单自由度系统自由振动方程020xxmk/0单自由度系统自由振动方程的解tCtCx0201sincos无阻尼自由振动是以平衡位置为中心的简谐振动振动角频率ω0是系统的固有特性，与初始条件无关kmfTmkf2121200固有频率及固有周期)sin(0tAx说明什么？固有频率ω0称作无阻尼系统的固有（角）频率，单位为rad/stCtCx0201sincosmk/0固有频率及固有周期kmfTmkf2121200固有频率和周期与初始条件无关，表现出线性系统自由振动的等时性。质量愈大，弹簧愈软，则固有频率愈低，周期愈长；反之，质量愈小，弹簧愈硬，则固有频率愈高，周期愈短。)sin(0tAx单自由度系统对初始条件的响应初始条件00)0(,)0(:0xxxxt对初始条件的响应txtxx00000sincos)sin(0tAx00020020arctan,xxxxA能量法保守系统无阻尼系统在自由振动中任一时刻的机械能保持常值—机械能守恒计算单自由度保守系统固有频率的能量法保守系统振动中动能与势能之和为常数常数VT动能为零时势能达到最大值，将动能取最大值（平衡位置）时的势能取作零，则有maxmaxVT能量法（续1）无阻尼单度系统tAxtAx000cos,sin)(cos2121022022mAxmT202max21mAT)(sin21210222kAkxV2max21kAVmaxmaxVT系统动能系统最大动能系统势能系统最大势能能量守恒→mk/0能量法（续2）瑞利法—计算固有频率的近似计算方法（计算系统的最低固有频率）先对具有分布质量的弹性元件假定一种振动形式（假设振型：通常按静变形曲线假设）根据无阻尼自由振动的简谐规律计算系统动能和势能写为标准形式2max202max21,21kAVmAT利用maxmaxVT得到系统的（最低阶）固有频率ω0能量法（等效参数法）所有单自由度黏性阻尼系统都可简化为质量-弹簧-阻尼系统选取x为广义坐标线性系统的动能可表示为线性系统的势能可表示为221xmTeq221xkVeq任意两个位置x1和x2间由粘性阻尼力所作的功可表示为21xxeqdxxcW系统的固有频率eqeqmk0能量法练习题扭转振动用角位移作为独立座标来表达振动状态的角振动问题转动方程式MJ式中J是转动物体对于转动轴的转动惯量，M为施加于转动物体上的力矩，它的方向与角位移一致时为正扭振运动方程及其振动解020JK20)sin(0tA20020A0001tg课堂练习•习题1.8不计质量的等截面悬臂梁长为L，抗弯刚度为EI，自由端有集中质量m1和m2。梁静止时突然释放质量m1。试求m2的自由振动。课堂练习单度系统无阻尼自由振动练习题单度系统无阻尼自由振动练习题参考解答作业题单自由度系统对初始条件的响应单自由度系统振动方程020xx的解为00)0(,)0(:0xxxxt满足初始条件txtxx00000sincos或)sin(0tAx00020020arctan,xxxxA自由振动的振幅初相角单自由度系统对初始条件的响应设在初始时刻，质点的位移和速度分别为00)0(,)0(:0xxxxttxtxx00000sincostCtCx0201sincos代入得01xC002xC〓单自由度系统自由振动方程质量—弹簧系统由一个可视为质点的物体和弹簧组成。设质点的质量为m，弹簧的质量不计，无扰动时弹簧不变形，质点处于平衡状态。以平衡位置O为原点建立坐标轴x，当质点因初始扰动而偏离平衡位置时，弹簧产生与位移x成正比，方向与位移相反的恢复力F=-kx作用于质点，比例系数k称作弹簧的刚度系数，单位为N/m。单自由度系统自由振动方程(广义)坐标选取x坐标原点：静平衡位置根据牛顿定律列写质点的自由振动方程0kxxm引入参数mk/0单自由度系统自由振动方程标准形式020xx〓单自由度系统自由振动方程的解运动微分方程020xxmk/0令tex代入上面方程本征方程（特征方程）0202相应的本征值0i1i线性无关特解tiex01tiex02方程的通解为titibeaebxaxx0021单自由度系统自由振动方程的解（续）欧拉公式sincosieisincosieitbatbabeaextiti00sin)(cos)(00单自由度系统自由振动方程的通解为tCtCx0201sincos其中C1、C2（或A、θ）为待定常数，由初始条件决定。〓或)sin(0tAx等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动例1.1-2以质量块m的水平位移为坐标，试计算弹簧的等效质量。假定弹簧的变形与离固定点的距离ξ成正比，弹簧端点的位移为x。微元长度dξ的质量ddml弹簧距端点ξ截面的变形（位移）xl弹簧距端点ξ截面的速度xl解设弹簧的长度为l，单位长度的质量为ρl，微元长度dξ的动能2)(21xlddTl等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动微元长度dξ的动能21)(21Txlddl将微元长度dξ的动能在整个弹簧范围内积分，计算弹簧的动能T12002222131212121xldlxdlxTllllllml1为弹簧质量21321xm令弹簧质量的1/3为弹簧的等效质量，则考虑弹簧质量的系统总动能为21321xmmT弹簧的势能与弹簧质量无关221kxV仍利用能量守恒公式maxmaxVT导出考虑弹簧质量的系统固有频率为301mmk等效参数法法求解单自由度系统无阻尼自由振动例1.1-3以梁端横向位移为坐标，试计算悬臂梁的等效质量解设悬臂梁的长度为l，单位长度的质量为ρl，抗弯刚度为EI其中E和I分别为梁的弹性模量和截面二次矩。自由端集中质量m相对平衡位置的位移为x。利用材料力学知识，当自由端有静挠度x时，距固定端距离为ξ的截面处的静挠度为xllf33223)(将梁的静挠度曲线作为近似振型，计算梁的动能T1llxmdxllT02122332114033212321lml1为梁的质量梁质量的33/140为梁的等效质量。系统的固有频率为1140330mmk刚度系数为悬臂梁端点的抗弯刚度33lEIk等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动例1.1-4试计算串联和并联弹簧的等效刚度。解讨论弹簧刚度为k1，k2的串联弹簧。设A点的位移x，两弹簧的伸长分别为x1和x2，则有21xxx根据B点的静力平衡条件列出2211xkxk可以解出xkkkxxkkkx21122121,弹性势能为22212122221121212121xkxkkkkxkxkV串联弹簧的等效刚度系数2121kkkkk等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动对于并联弹簧，两弹簧的伸长均等于A点的位移x2221222121212121xkxkkxkxkV并联弹簧的等效刚度系数为21kkk如果A点处固定物体m，则动能为221xmT不计弹簧的质量时，系统的固有频率为mk0等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动图示系统为一内燃机排气阀系统简图。已知摇杆AB对支点O的转动惯量为I0，气阀BC的质量为Mv，阀簧质量为Ms，计算时可近似地将ms/3集中于B点，挺杆AD的质量为mt，求此系统简化到阀门C点的等效质量。等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动内燃机排气阀系统等效质量广义坐标：阀门C点的垂直位移xc系统动能：222023121212121BsAtABCvvmvmIvmT将系统动能表示为广义坐标一阶导数的二次函数CCxvbxbvbvCCBABCCBxvvCABAxbaav222222023121212121CsCtCCvxmxbamxbIxmTcx等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动内燃机排气阀系统等效质量广义坐标：阀门C点的垂直位移xc系统动能：222222023121212121CsCtCCvxmxbamxbIxmT222203121CstvxmmbabImT此系统简化到阀门C点的等效质量stveqmmbabImm