同步检测反证法与放缩法

1/4§2.3不等式的的证明(3)反证法与放缩法1、设二次函数qpxxxf2)(，求证：)3(,)2(,)1(fff中至少有一个不小于21.2、设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于413、已知0ba，求证：nnba（Nn且1n）.4、若x,y0，且x+y2，则xy1和yx1中至少有一个小于2。5、已知1≤22xy≤2，求证：12≤22xxyy≤36、设2()13fxxx，1xa，求证：()()21fxfaa；7、求证：311112xxx8、求证.111bbaababa2/49、设n为大于1的自然数，求证.2121312111nnnn10、若n是自然数，求证.213121112222n11、求证：223111112212nnn(n≥2)12、求证：1112121223nnn*nN3/4参考答案1．证明：假设)3(,)2(,)1(fff都小于21，则.2)3()2(2)1(fff（1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(qpqpqpffffff（2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？2、证：设(1a)b41,(1b)c41,(1c)a41,则三式相乘：ab(1a)b•(1b)c•(1c)a641①又∵0a,b,c1∴412)1()1(02aaaa同理：41)1(bb,41)1(cc以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c≤641与①矛盾.∴原式成立4、提示：反设xy1≥2，yx1≥2∵x,y0，可得x+y≤2与x+y2矛盾。10、证明：.,,4,3,2,111)1(112nkkkkkknnn)1(13212111113121112222=)111()3121()2111(11nn=.212n4/4注意：实际上，我们在证明213121112222n的过程中，已经得到一个更强的结论nn1213121112222，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。