天津大学1213-1概率论考试试卷B答案

天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共4页第1页2012～2013学年第1学期期末考试试卷《概率论》（B卷共4页）（考试时间：2012年12月09日）题号一二三成绩核分人签字123456得分一、选择题（共12分，每题2分）1、对于任意两个随机变量YX,，若)()()(YEXEXYE，则（B）A))()()(YDXDXYDB))()()(YDXDYXDC)YX,一定独立D)YX,不独立2、A与B相互独立，且0()1PA，0()1PB，则有（C）A)A与B互不相容B)A与B互不相容C)A与B相容D)()PABPAPB.3、设12,,AAB为三个随机事件，且1212(())()()PAABPABPAB，则一定有(D)A)1AB与2AB独立；B)12AAB为不可能事件；C)12()0PAA；D)12()0PAAB.4、设1X与2X是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们概率密度函数分别为1()fx与2()fx,分布函数分别为1()Fx与2()Fx，那么下列命题不正确的是(B)A)0,0,a+b=1ab且，则12()()afxbfx必为某一随机变量的概率密度函数；B)12()()fxfx为二维型随机变量12,XX的联合的概率密度函数；C)1212()()33FxFx必为某一随机变量的分布函数；D)12()()FxFx必为某一随机变量的分布函数.5、如果存在常数,(0)aba，使得{}1PYaXb，且0DX，则X与Y的相关系数XY为（C）A)1；B)-1；C)||aa；D)1XY.6、设X为一随机变量，若21,0.1,EXDX则一定有（B）A){11}0.9PXB){0||2}0.9PXC){11}0.9PXD){||1}0.1PX.二、填空题（共18分，每空2分）1、已知2.0)(AP，()0.6PB,(|)1/6PAB，则PAB3/4(0.75).2、将20只球放入10个盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数X的数学期望为.201010.93、取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于1米的概率为1/3.4、设一系统由五个相互独立的元件串联而成,每个元件的寿命X服从均值为1500的指数分布（单位：小时），在使用的前600h内至少有一个元件需要更换的概率是21e,且该系统的平均寿命是__300___（小时）.5、设12,,,,nXXX是独立同分布的随机变量序列,且其相同的分布函数为：0,1,0.4,11,()()0.8,13,1,3.xxFxPXxxx则(1,2,)iXi的分布律为_______，且11niiXn依概率收敛于0.6.6、二维正态分布表示为221122(,;,;)N设随机变量满足(,)~(1,4;5,9;0.5)XYN，随机变量24ZXY，则()EZ1,()DZ37.天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共4页第2页三、解答题（共70分）1、（本题14分）盒子里装有2个黑球、5个红球、3个白球共10个球，从中一次随机地摸出两个球，令0,,0,,1,;1,;XY两个球中无红球两个球中无白球两个球中有红球两个球中有白球求（1）),(YX的联合概率分布律；（2）F0.3,1.5，{}PXY；（3）随机变量Y的边缘分布律；（4）在{1}Y的条件下随机变量X的条件分布律；解：（1）21011{0,0}{}45PXYPC取到两球全为黑球211332210+91{0,1}{}=455CCCPXYPC取到两球无红有白球211525210+204{1,0}{}=459CCCPXYPC取到两球无白有红球1153210151{1,1}{}=.453CCPXYPC取到两球1红1白球因此，随机变量X和Y的联合分布律为：(6分)（2）192F0.3,1.5{0.3,1.5}{0,0}{0,1}45459PXYPXYPXY，16{}{0}{1}45PXYPXYPXY(9分)XY0101/454/911/51/3(3)随机变量Y的边缘分布律Y01YP7/158/15(11分)（4）在{1}Y的条件下随机变量X的条件分布律为{0,1}9/453{0|1}{1}24/458PXYPXYPY{1,1}15/455{1|1}{1}24/458PXYPXYPY(14分)(其中公式1分)2、（本题10分）已知电源电压X服从正态分布(220,400)N（单位：伏）,在电源电压处于以下三种状态:{200}X,{200240}X,{240}X时,某电子元件损坏的概率分别为0.1,0.01,0.2.试求:(1)该电子元件损坏的概率;(2)该电子元件损坏时,电压在（200，240]内的概率.(已知:(0.8)0.79,(1)0.8413).解：令1{200}AXV1{200}AXV,3{240}AXVB电子元件损坏----------------------1分（1）电子元件损坏的概率112233()(|)()(|)()(|)()={200}0.1{200240}0.01{240}0.2=(-1)0.1((1)-(-1))0.01+(1-(1))0.2(1(1))0.1(2(1)-1)0.01+(1-(1))0.20PBPBAPAPBAPAPBAPAPXPXPX.015870.0068260.03174=0.054436-------------------------------------（全概率公式1分，算到最后共6分）（2）222(|)()0.006826(|)0.1254()0.054436PBAPAPABPB----------------------------贝叶斯公式1分，算到最后共3分天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共4页第3页3、（本题7分）设甲乙两台设备的寿命分别服从参数为3与4的指数分布,且两台设备的好坏与否相互独立,求甲比乙先坏的概率.解：设甲乙两台设备的寿命分别为X、Y,则其概率密度函数分别为-33,0,()0,0.xXexfxx-44,0,()0,0.yYeyfyy(1分)因为X与Y相互独立,所以,XY的联合概率密度函数(,)fxy为-3412,0,0,()()()0,.xyXYexyfxyfxfy（），其它(3分)甲比乙先坏的概率为-34-7003123.7xyxxPXYdxedyedx（）(7分)(其中过程3分,结果1分)4、（本题18分）设二维随机变量,XY在由直线1,yx1xy及1x所围成的区域内服从均匀分布．求（1）求,XY的联合概率密度函数(,)fxy；（2）求X、Y的边缘概率密度函数)(xfX，()Yfy;（3）判断X与Y是否相互独立，为什么？（4）求|(|)XYfxy，11022PXY；（5）判断X与Y是否相关，为什么？解：（1）由题知平面区域G的面积为1x+11x1xdy4,GSd所以1,x-1x+1,1x1,(,)40,yfxy其它.(2分)（2）1-111(1),11,()420,.xxXdyxxfx其它(4分)1y-11y111x(2y),0y2,4411()(,)xx(y2),2y0,440,Ydfyfxydd其它.(6分)（3）因为(,)()()XYfxyfxfy,所以X与Y不独立.(8分)（4）当2y0时，|1,-11,(,)2()()0,XYYyxfxyyfxyfy其它，当0y2时，|Y1,-11,(,)2()()0,XYyxfxyyfxyfy其它，(10分)|21,1,1|3220,XYxfXY其它，(11分)1/20112102233PXYdx(13分)（5）因为1111(1)23EXxxdx,0220(2)(2)044yyyyEYdydy，或1x+11x11xdy0,4EYdy1x+11x11xdy04EXYdxy，(,)0CovXYEXYEXEY.(18分)所以X与Y不相关.天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共4页第4页5、（本题13分）设随机变量X的概率密度为1/6,30()kx,020,xfxx其它，令2XY，),(yxF为二维随机变量,XY的联合分布函数.求（1）k；（2）Y的分布函数)(yFY.解：（1）02-3011x+xx+21,62dkdk所以1.4k（2分）(2)Y的取值范围为[0，9]，(3分)故当0y时，()0YFy；当9y时，()1.YFy(5分)Y的分布函数为2()()()YFyPYyPXy(7分)当04y时，200(){}(0)(0)1111=y,6468YyyFyPXyPyXyPyXPXydxxdxy(10分)当49y时，2020(){}(0)(02)1111=.6462YyFyPXyPyXPXdxxdxy(13分)6、（本题8分）（用中心极限定理近似计算）某互联网站有10000个相互独立的用户，已知每个用户在平时任一时刻访问该网站的概率为0.1求在任一时刻有940到1075个用户访问该网站的概率.00(1)0.8413,(2)0.9772,(1.960.97502.50.9938.），解：设X表示任一时刻访问该网站的用户数,则(10000,0.9)XB（1分）并且()100000.11000EX.()100000.10.9900DX.（3分）由中心极限定理9401000200010751000(9401075)()900160090055()(2)()(2)10.99380.977210.97122XPXP（8分）设随机变量X服从(-2,3)上的均匀分布，即~(-2,3)XU，令2XY，),(yxF为二维随机变量,XY的联合分布函数.求（1）Y的分布函数)(yFY；（2）1(,4)2F.解(1)Y的取值范围为[0，9]，(1分)故当0y时，()0YFy；当9y时，()1.YFy(3分)Y的分布函数为2()()()YFyPYyPXy(5分)当04y时，212(){},55yYyFyPXyPyXydxy(8分)当49y时，-2+21()-2)==,55yYyFyPyXyPXydx(10分)天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共5页第5页设随机变量X的分布函数为：0,0()1/3,01/21,1/2xFxxxx则随机变量X为A）离散型随机变量B）连续型随机变量C）非离散非连续随机变量D）不能确定设随机变量X的分布函数为：0,0()1/3,01/21,1/2xFxxxx则12PX______________.