大连理工大学线性代数考前练习题

—A1—线性代数试题一、填空题(共30分,每空2分)1.若A为33型的矩阵且CBAcrr52321,则AC.2.设321,,aaa为一向量组,且存在数k使得133221,,aakaakaa线性无关,则k的取值为.3.已知130140002A,则1A.4.设四阶方阵的列分块阵为],,,[],,,,[321321caaaBbaaaA,1||,2||BA,则||BA.5.设向量组TTaa]1,1,1[,]1,1,1[21是向量空间V的一个基底,向量b在该基底下的坐标向量为T]1,2[,则b;又基底21,bb到21,aa的过渡矩阵为3211,则1b,2b,向量b在基底21,bb下的坐标向量为.6.设向量组I:saaa,,,21线性相关,秩是r,II:tbbb,,,21线性无关,且II可由I线性表示,则r与t的关系为;s与t的关系为.7.设bAx是nm型的非齐次方程组,1)(nAr,21,uu是该方程组的两个不同的已知解,则其通解为.8.若二次型232221321)()(2),,(xxxxxxxf,则其规范形),,(321yyyg.9.若方阵A满足OEAA62,则A的特征值可能的取值为.10.设2是三阶方阵A的一个特征值,且1)2(AEr,则||AE.—A2—二、判断题:正确的在题后的括号中填写“对”,错误的填写“错”(共10分,每题1分)1.设BA,都是n阶非零方阵，若ACAB，则CB.（）2.设BA,是方阵，OAB，则BA,至少有一个不可逆.（）3.设可逆变换Pxy将二次型AxxT化为二次型ByyT，则BA,相合.（）4.若方阵A的特征值都为零,则OA.()5.若矩阵A的秩为r,则A中所有r阶子阵都非奇异.()6.若矩阵A满足EAAAATT,则A为正交矩阵.()7.如果A为负定矩阵,则,0)(Atr且0||A.()8.若A为实对称矩阵,则OAOA2.()9.设实矩阵A的列向量组是标准正交向量组,则A为正交矩阵.()10.若向量组saa,,1中任意1s个向量都线性无关,则saa,,1也不一定线性无关.()三、（10分）设110111012A，311211C，并且CBAB，求矩阵B．四、（10分）1.化简TTTTBAABAABAB112)(.2.当k满足什么条件时,矩阵10010000200kkkkk为正定矩阵.五、（10分）求向量组20211a,83742a,23113a,11004a的秩,一个极大无关组,并用所求极大无关组线性表示其余向量.六、（10分）k取何值时，非齐次线性方程组022232212321321xkxxkkxxxkxxx（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解.七、（10分）求正交变换Qyx将二次型32232221321433),,(xxxxxxxxf化为标—A3—准形,写出相应的标准形,并求该二次型的正、负惯性指数.八、（共10分）1．设saaa,,,21是n元向量组,P是秩为n的nn型矩阵,令iiPab(si,,1),证明saaa,,,21与sbbb,,,21的秩相等.2．设A是n阶实对称阵，若存在n元实向量yx,使得0AxxT,0AyyT,证明：存在非零的n元实向量z使得0AzzT.