大一上学期高数期末考试题

-1-大一上学期高数期末考试一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1.)(0),sin(cos)(　处有则在设xxxxxf.（A）(0)2f（B）(0)1f（C）(0)0f（D）()fx不可导.2.　）时（　，则当，设133)(11)(3xxxxxx.（A）()()xx与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）()()xx与是等价无穷小；（C）()x是比()x高阶的无穷小；（D）()x是比()x高阶的无穷小.3.若()()()02xFxtxftdt，其中()fx在区间上(1,1)二阶可导且()0fx，则（）.（A）函数()Fx必在0x处取得极大值；（B）函数()Fx必在0x处取得极小值；（C）函数()Fx在0x处没有极值，但点(0,(0))F为曲线()yFx的拐点；（D）函数()Fx在0x处没有极值，点(0,(0))F也不是曲线()yFx的拐点。4.)()(,)(2)()(10xfdttfxxfxf则是连续函数，且设（A）22x（B）222x（C）1x（D）2x.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.xxxsin20)31(lim.6.,)(cos的一个原函数是已知xfxxxxxxfdcos)(则.7.lim(coscoscos)22221nnnnnn.8.21212211arcsin－dxxxx.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.设函数()yyx由方程sin()1xyexy确定，求()yx以及(0)y.10..d)1(177xxxx求-2-11.．　求，，　　设132)(1020)(dxxfxxxxxexfx12.设函数)(xf连续，10()()gxfxtdt，且0()limxfxAx，A为常数.求()gx并讨论()gx在0x处的连续性.13.求微分方程2lnxyyxx满足1(1)9y的解.四、解答题（本大题10分）14.已知上半平面内一曲线)0()(xxyy，过点(,)01，且曲线上任一点Mxy(,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15.过坐标原点作曲线xyln的切线，该切线与曲线xyln及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.-3-解答一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e.6.cxx2)cos(21　.7.2.8.3.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导(1)cos()()0xyeyxyxyycos()()cos()xyxyeyxyyxexxy0,0xy，(0)1y10.解：767uxxdxdu　　1(1)112()7(1)71ududuuuuu原式1(ln||2ln|1|)7uuc7712ln||ln|1|77xxC11.解：1012330()2xfxdxxedxxxdx01230()1(1)xxdexdx00232cos(1sin)xxxeedx　令3214e12.解：由(0)0f，知(0)0g。100()()()xxtufudugxfxtdtx(0)x02()()()(0)xxfxfudugxxx0200()()A(0)limlim22xxxfudufxgxx0200()()lim()lim22xxxxfxfuduAAgxAx，()gx在0x处连续。13.解：2lndyyxdxx-4-22(ln)dxdxxxyeexdxC211ln39xxxCx1(1),09yC，11ln39yxxx四、解答题（本大题10分）14.解：由已知且02dxyyxy，将此方程关于x求导得yyy2特征方程：022rr解出特征根：.2,121rr其通解为xxeCeCy221代入初始条件yy()()001，得31,3221CC故所求曲线方程为：xxeey23132五、解答题（本大题10分）15.解：（1）根据题意，先设切点为)ln,(00xx，切线方程：)(1ln000xxxxy由于切线过原点，解出ex0，从而切线方程为：xey1则平面图形面积10121)(edyeyeAy（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则2131eV曲线xyln与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V21022)(dyeeVyD绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积)3125(6221eeVVVcossin1.()2,()()22()()B()()DxxfxgxfxgxfxgxC1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数-5-2x1nnnn20cossin1nAX(1)BXsin21CX(1)xnexxnaDa、x时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小　　Ｂ低阶无穷小　　　Ｃ等价无穷小　　　Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点　　　Ｂ可去间断点　　　Ｃ跳跃间断点　　　Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n1Xcosn200000001()5()()()()0''()0D''()'()06xfxXXoBXoCXXXXyxe、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf＇f＇f＇且ff不存在或f、曲线（　　）Ａ仅有水平渐近线　　　Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线　　　Ｄ既有铅直渐近线1~6DDBDBD一、填空题1d12lim2,,xdxaxbabｘｘ３２２１１、（　　）＝ｘ+1、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１４、ｙ＝ｘ的拐点为：ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-31In1x;2322yxx;32log,(0,1),1xyRx;4(0,0)5解：原式=11(1)()1mlimlim2(1)(3)3477,6xxxxmxmxxxmba　　二、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小（）2、0sinlimxxx在区间（，）是连续函数（）3、0f(x）=0一定为f(x)的拐点（）-6-4、若f(X)在0x处取得极值，则必有f(x)在0x处连续不可导（）5、设函数ｆ(x)在0,1上二阶可导且'()0A'0B'(1),(1)(0),ABC()fxffCff令（），则必有1~5FFFFT三、计算题1用洛必达法则求极限2120limxxxe解：原式=222111330002(2)limlimlim12xxxxxxeexexx2若34()(10),''(0)fxxf求解：33223333232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0fxxxxxfxxxxxxxxxxfx3240lim(cos)xxx求极限4Icos2204Icoslim022000002lim1(sin)4costancoslimcoslimlimlimlim22224nxxxnxxxxxxxxeexInxxxxInxxxxxxe解：原式=原式4531(31)2xyxx求的导数53511I31123221531111'33121221511'(31)2312(1)2(2)nyInxInxInxyyxxxxyxxxxx解：-7-53tanxdx2222tantansec1)tansectantansintantancos1tantancoscos1tancos2xxdxxxdxxxdxxdxxxdxdxxxdxdxxxInxc解：原式=（　　　　=　　　　=　　　　=　　　　=6arctanxxdx求22222222211arctan()(arctanarctan)22111(arctan)2111arctan(1)211arctan22xdxxxxdxxxxdxxxxdxxxxxc解：原式=　　　　=　　　　=　　　　=证明题。1、证明方程310xx有且仅有一正实根。证明：设3()1fxxx1221222212222(0)10,(1)10,()0,10,1),'(0()01)()00()00,,(),,()()0,()0'()31fffxffxfxfxxxxfxxxxxfxfxxxff且在上连续至少存在（使得）即在（，内至少有一根，即在（，）内至少有一实根假设在（，）有两不同实根x在上连续，在（）内可导且至少（），st而3110xx与假设相矛盾方程有且只有一个正实根-8-2、arcsinarccos1x12xx证明（）22()arcsinarccos11'()0,1,111()(0)arcsin0arccos02(1)arcsin1arccos12(1)arcsin(1)arccos(1)2()arcsinarccos1,12fxxxfxxxxfxcffffxxxx证明：设综上所述，，四、应用题1、描绘下列函数的图形21yxx32233.Dy=(-,0)(0,+)1212.y'=2x-1'022''2''0,1xxxyxyxyx解：1令得令得3.4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)222250lim(),()0xfxfxx有铅直渐近线6如图所示：-9-2.讨论函数22()fxxInx的单调区间并求极值12()22(1)(1)'()2(0)'()0,1,1DfxRxxfxxxxxfxxx解：令得由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)和单调递增区间为(1,0)1和（，）且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1．210lim()xxxex.2．1200511xxxxeedx.3．设函数()yyx由方程21xytedtx确定，则0xdydx.4.设xf可导，且1()()xtftdtfx，1)0(f，则xf.5．微分方程044yyy的通解为.二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设常数0k，则函数kexxxfln)(在),0(内零点的个数为（）.(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2．微分方程43cos2yyx的特解形式为（）.-10-（A）cos2yAx;（B）cos2yAxx;（C）cos2sin2yAxxBxx;（D）xAy2sin*.3．下列结论不一定成立的是（）.（A）若badc,,,则必有