复习课《立体几何中的向量方法》研讨案

本溪县高级中学数学科“三学三动立体循环”教学模式复习课《立体几何中的向量方法》研讨案课题立体几何中的向量方法设计教师王伟杰授课教师时间2011年10月28日第8周课型复习课课时1/2教学目标一、知识和能力(1)理解直线的方向向量与平面法向量．(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．二、过程和方法通过自主探究、小组合作、质疑、讨论、展示、变式练习等学习活动完成学习任务。三、情感态度和价值观通过学习活动增强学生的合作意识，体验学习的乐趣，树立自信，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神。重点难点重点：向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用难点：解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题教法自主探究、小组合作、讨论、展示、师生共研等教具多媒体课件、三角板教学过程设计教材处理师生活动一、课前检测（5～10分钟）（复习上节课的知识、方法，对学生掌握的情况进行检测。包括知识点、典型题、易错题）1、如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若EF→＝λ(AB→＋DC→)，则λ＝________.课前小考，学生答题，教师巡视，学生做完后，质疑、点评、互批、自改，教师将集中出现错误的问题加以讲解2、正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1→上且AM→＝12MC1→，N为B1B的中点，则|MN→|为()A.216aB.66aC.156aD.153a3、若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()A．a，a＋b，a－bB．b，a＋b，a－bC．c，a＋b，a－bD．a＋b，a－b，a＋2b4、下列命题中是真命题的是()A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反C．若向量AB→，CD→满足|AB→|＞|CD→|，且AB→与CD→同向，则AB→＞CD→D．若两个非零向量AB→与CD→满足AB→＋CD→＝0，则AB→∥CD→5、已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O、O1分别是边AC、A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)若M为BC1的中点，试用基向量AA1→、AB→、AC→表示向量AM→；(3)求向量AM→与BC→所成的角．二、导入新课利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等偏高，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角等，同时注重考查空间想像能力、运算能力。本节课我们就来复习立体几何中的向量方法。三、目标导向（教师结合《考试说明》制定学习目标）1、能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．2、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．四、精典探究（把新课根据教学内容分成几个部分，采取“各个击破”的策略，分段完成）（一）利用空间向量证明平行与垂直例1如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，教师引出课题。教师出示学习目标，学生阅读，明确学习目标例1教师可以让学且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.小结1：1、利用空间向量证明平行与垂直的方法：_________________________________.2、注意的问题：________________________.变式练习：如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2.求证：AO⊥平面BCD；（二）利用空间向量求空间线线角与线面角例2如图，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．小结2：注意的问题：_____________________________.变式练习:如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2.求异面直线AB与CD所成角的余弦值．（三）利用空间向量求空间面面角与点面距离例3如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角A－A1D－B的大小；生动手做，抽取小组学生板演、展示、质疑、释疑、归纳总结。教师点拨、点评变式，学生尝试做，教师选择学习较好的学生板演，基本做完后，学生讲解、质疑、释疑，归纳总结，教师点拨、点评，考查学生分析问题、解决问题的能力例2让学生结合例1自己处理(3)求点C到平面A1BD的距离．小结3：注意的问题：______________________________.变式练习:如图，在三棱锥P－ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.(1)求证：PC⊥AB；(2)求二面角B－AP－C的余弦值．（四）利用空间向量研究空间中的探索性问题例4如图①所示的正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B(如图②)．在图②中：(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由．(2)求二面角E－DF－C的余弦值．(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论小结4：注意的问题：________________________.变式练习如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝3，AA1＝1，∠ACB＝90°.(1)求异面直线A1B与CB1所成角的余弦值．(2)问：在A1B1边上是否存在一点Q，使得平面QBC与平面A1BC所成的角为30°？若存在，请求点Q的位置，若不存在，请说明理由．此处要求学生从知识点、思想方法和存在的问题三方面总结；教师点评和补充此题较难，第一、二问教师可以以点拨为主，第三问详细讲解五、总结升华1、本节课的主要知识点是：____________________________;2、本节课的主要思想方法是：___________________________;3、本节课学生存在的问题是：____________________________.六、课堂检测（5～10分钟）1、在90°的二面角的棱上有A、B两点，AC、BD分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB，已知AB＝5，AC＝3，CD＝52，则BD＝()A．4B．5C．6D．72、已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A.32B.52C.105D.10103、二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．60°D．120°4、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，EF∥BC且AE＝2EB，G为BC中点，K为△AFD的外心，沿EF将矩形折成120°的二面角A－EF－B，则此时KG的长是__________．七、复习指导1、将本课的学案和教材看一遍，不会的问题研究一下；2、推荐作业：《状元之路·立体几何中的向量方法》练习题。学生做；教师巡视，旨在了解对基础知识和基本方法掌握的情况。要树立学生学习的信心。指导学生课后复习，布置作业板书设计：教学反思：