对2009年上海高考理科数学试卷第23题的研究

对2009年上海高考理科数学试卷第23题的研究嘉定二中谷求华考研究性问题，是上海高考数学命题改革的一个重要部分。2009年上海高考理科数学试卷第23题以两个基本数列为研究对象，让学生感觉不陌生，能上手，但要研究好、研究透，实属不易。本文以该试题为研究对象，对解答数列型等式问题做些粗浅的探索，意为抛砖引玉。【2009年上海高考理科数学试卷第23题】已知}{na是公差为d的等差数列，}{nb是公比为q的等比数列。（1）若13nan，是否存在*,Nkm，有kmmaaa1？说明理由；（2）找出所有数列}{na、}{nb，使对一切nnnbaaNn1*,，并说明理由；（3）若3,4,511qbda，试确定所有的p，使数列}{na中存在某个连续p项的和是数列}{nb中的一项，请证明。分析：第（1）题探索存在性，第（2）题探索一般性，第（3）题探索存在性。一般来说，探索的策略是先假设存在满足条件和结论的量，获得含有该量的等式，再由此出发求解相应的量的可能值。因为（1）（3）属于同类问题，我们先解答，然后再重点研究（2）。解：第（1）题假设存在*,Nkm，有kmmaaa1成立，即134313kmm，342mk，*342Nm，即*Nk，所以不存在*,Nkm，使kmmaaa1。评价：解答此题的关键是把关于km,的等式变换成为用一个变量（如m）表示出另一个变量（如k），再考虑其取值范围是整数这个制约条件，即利用了数的整除性．．．．．——数列中的项数是整数的性质。第（3）题类似于第（1）题，设11,,,pmmmaaa满足条件，nnnbna3,14，kpmmmppmpaaa342)1()14(11，整理得*1234Nppmk，所以p是k3的约数，即p是3的自然数次幂。不妨设krNrpr,,3，则*],1)1(2)1[(41)14(2)14(1323132334NAAmrrkrrkrrkrrk无论r是奇数还是偶数，都可以找到k值，使得1)1(2)1(rrk能被4整除。所以，当Nrpr,3时，能使数列}{na中存在连续p项的和是数列}{nb中的一项。评价：本小题牵涉到多个待定的量，难度明显较（1）大，但是解题的策略不改。归纳来看，这两道小题其实就是探求数列中等式成立的条件．．．．．．．．．．的问题，都是利用数的整除性——数列中的项数是整数的性质。第（2）题是要求学生探索符合给定条件的所有数列，粗看起来很抽象，目标感不强，下面巧用数学思想对它进行研究。研究一，从特殊到一般，既是我们认识事物的过程，也是我们探索规律并得到结论的常用方法，由此我们用从特殊到一般思想．．．．．．．．来解答。设cdnan，则cdcdaacdcdaacdcdaa34,23,2342312，由于nnnbaa1是等比数列，cdcdcdcdcdcd342)23(2，即)4()2()()3(33cdcdcdcd，整理得02534cdd0d或025cd当0d时，1,0nnbca；当025,0cdd时，dnan)5.2(，检验35,3,1453423aaaaaa不成等比数列。综上所述，数列}{na为非零常数数列、}{nb是恒为1的常数数列。研究二，一个关于n的恒等式，可以看成为所有的正整数n都是关于n的方程的解，由此我们用方程思想．．．．来解答。设cdnan，则qaaaannnn112，即qcddncdncddn2)())(2(0)1)(2()1)((2)1(2222qdqcdcnqcddnqd对一切正整数n都成立，0)1)(2(0)1)((20)1(222qdqcdcqcddqd，解得0d或1q，当0d时，1,0nnbca；当1q时，0mbn，即0)1()1(cmdnmdmcdncddn，0,1dm，综上所述，数列}{na为非零常数数列、}{nb是恒为1的常数数列。研究三，由于等式中的n是变化的，存在无限增大的变化过程，联想到数列的极限，由此我们用极限思想．．．．来解答。令nnnbaa1，则nnnbada，即nnbad1，111)1(1nqbdnad，当0d时，nnbqb111，即数列}{na为非零常数数列、}{nb是恒为1的常数数列；当0d时，分子分母同除以d，得111)1(11nqbnda，因为1])1(11[lim1ndan，1||10][lim111qqbqbnn（当1||,1qq时，无极限）所以1,11qb，即0d，矛盾。综上所述，数列}{na为非零常数数列、}{nb是恒为1的常数数列。研究四，教材明确指出数列是一类特殊的函数，nnaa1和nb都可以看作自变量为n的函数，由此我们用函数思想．．．．来解答。令nnnbaa1，则nnnbada，即nnbad1，111)1(1nqbdnad，当0d时，nnbqb111，即数列}{na为非零常数数列、}{nb是恒为1的常数数列；当0d时，分子分母同除以d，得111)1(11nqbnda，若0d，则01a，有11b；若0d，则01a，也有11b。1111111nqdanbb，又)1(11)(1ndanf是减函数，10q，nqdanbqbq1111，等式左边随n的变化呈双曲线规律（类反比例函数）变化，等式右边随n的变化呈指数曲线规律（指数函数）变化，所以等式并不能对一切*Nn都成立。综上所述，数列}{na为非零常数数列、}{nb是恒为1的常数数列。评价：数列中．．．等式恒成立．．．．．的条件．．．问题，具有较高的抽象性和复杂性，合理转化，联想并运用相应的数学思想方法来灵活处理，对提高分析问题和探索结论的能力是十分有效的。