地壳应力应变补充材料20150602.

地壳形变汪建军武汉大学测绘学院[e-mail]1,20151.地壳应力应变分析的目的和意义WaltersRJ;ParsonsB;WrightTJ(2014)ConstrainingcrustalvelocityfieldswithInSARforEasternTurkey:Limitstotheblock-likebehaviorofEasternAnatolia，JGR.研究构造应力场1.地壳应力应变分析的目的和意义WaltersRJ;ParsonsB;WrightTJ(2014)ConstrainingcrustalvelocityfieldswithInSARforEasternTurkey:Limitstotheblock-likebehaviorofEasternAnatolia，JGR.研究构造应力场s1s2a最大拉张主应力最小压缩主应力1.地壳应力应变分析的目的和意义JianjunWang,CaijunXu*,JeffreyT.Freymueller,ZhenhongLi,andWenbinShen,SensitivityofCoulombstresschangetotheparametersoftheCoulombfailuremodel:Acasestudyusingthe2008Mw7.9Wenchuanearthquake,JGR,2014研究库仑应力转移1.地壳应力应变分析的目的和意义研究库仑应力转移sxtxytxztxysytyztxztyzszæèçççöø÷÷÷Ûs11s12s13s12s22s23s13s23s33æèçççöø÷÷÷2.一点的应力状态xzxyzxyxzyxyzzxzyysxtxytxztxysytyztxztyzszæèçççöø÷÷÷Ûs11s12s13s12s22s23s13s23s33æèçççöø÷÷÷3.平面应力状态xzxyzxyxzyxyzzxzyysxtxytxztxysytyztxztyzszæèçççöø÷÷÷Ûs11s12s13s12s22s23s13s23s33æèçççöø÷÷÷=s11s120s12s220000æèçççöø÷÷÷4.坐标变换AooA4.坐标变换AooAOA=xe1+ye2+ze3=¢x¢e1+¢y¢e2+¢z¢e3向量可以表示为新老坐标系下基向量的线性组合：OA其中，分别为老坐标系下的轴的基向量。¢e1,¢e2,¢e3o-xyzx,y,z分别为新坐标系下的轴的基向量。令，则有：o-¢x¢y¢z¢x,¢y,¢ze1,e2,e3x1=x,x2=y,x3=z¢x1=¢x,¢x2=¢y,¢x3=¢zOA=x1e1+x2e2+x3e3=¢x1¢e1+¢x2¢e2+¢x3¢e34.坐标变换AooAOA=x1e1+x2e2+x3e3=¢x1¢e1+¢x2¢e2+¢x3¢e3上式可写为：其中，，。乘积的下标相同，表示指标遍历1、2、3求和。、就是所谓的爱因斯坦求和约定。注意，这也就是说爱因斯坦求和约定的下标可以是字母或或。同理，的下标也可以是字母或或。OA=xiei=¢xj¢ejxiei=x1e1+x2e2+x3e3¢xj¢ej=¢x1¢e1+¢x2¢e2+¢x3¢e3xiei¢xj¢ejxiei=xjej=xkekijk¢xj¢ejijk4.坐标变换AooAOA=xiei=¢xj¢ej已知：令。注意前面已经提及乘积的下标相同表示爱因斯坦求和，因此有：，。¢ei=Cijej¢ei=Cijej=e1e2e3()Ci1Ci2Ci3æèçççöø÷÷÷4.坐标变换AooAOA=xiei=¢xj¢ej已知：令。根据爱因斯坦求和约定的下标可以选择任意字母有：。将代入后有：于是有：¢ei=Cijej¢ej=Cjkek¢ej=CjkekOA=xiei=¢xj¢ejOA=xiei=¢xj¢ej=¢xj(Cjkek)=¢xjCjieixi=¢xjCji4.坐标变换AooAxi=¢xjCji将写为矩阵的形式：因此，x1x2x3æèçççöø÷÷÷=C11C21C31C12C22C32C13C23C33æèçççöø÷÷÷¢x1¢x2¢x3æèçççöø÷÷÷xi=¢xjCji=C1iC2iC3i()¢x1¢x2¢x3æèçççöø÷÷÷4.坐标变换AooAx1x2x3æèçççöø÷÷÷=C11C21C31C12C22C32C13C23C33æèçççöø÷÷÷¢x1¢x2¢x3æèçççöø÷÷÷¢ei=Cijej=e1e2e3()Ci1Ci2Ci3æèçççöø÷÷÷推导了新老坐标系下的坐标分量转换关系后，注意到基向量的关系为：4.坐标变换AooAx1x2x3æèçççöø÷÷÷=C11C21C31C12C22C32C13C23C33æèçççöø÷÷÷¢x1¢x2¢x3æèçççöø÷÷÷¢e1¢e2¢e3()=e1e2e3()C11C21C31C12C22C32C13C23C33æèçççöø÷÷÷推导了新老坐标系下的坐标分量转换关系后，基向量的关系即为：4.坐标变换x1x2x3æèçççöø÷÷÷=C11C21C31C12C22C32C13C23C33æèçççöø÷÷÷¢x1¢x2¢x3æèçççöø÷÷÷¢e1¢e2¢e3()=e1e2e3()C11C21C31C12C22C32C13C23C33æèçççöø÷÷÷推导了新老坐标系下的坐标分量转换关系后，基向量的关系即为：令则有：C11C21C31C12C22C32C13C23C33æèçççöø÷÷÷=D4.坐标变换x1x2x3æèçççöø÷÷÷=D¢x1¢x2¢x3æèçççöø÷÷÷¢e1¢e2¢e3()=e1e2e3()D推导的新老坐标系下的坐标分量转换关系为：基向量的关系为：故有：¢x1¢x2¢x3æèçççöø÷÷÷=D-1x1x2x3æèçççöø÷÷÷¢e1¢e2¢e3()=e1e2e3()Dìíïïïîïïï4.坐标变换¢x1¢x2¢x3æèçççöø÷÷÷=D-1x1x2x3æèçççöø÷÷÷¢e1¢e2¢e3()=e1e2e3()Dìíïïïîïïï新老坐标系下的坐标分量转换关系为：该坐标转换的一个应用：二维平面坐标系转换基向量转换关系：故坐标转换关系为：x1x2¢x1¢x2q¢e1¢e2()=e1e2()cosq-sinqsinqcosqæèçöø÷¢x1¢x2æèçöø÷=cosq-sinqsinqcosqæèçöø÷-1x1x2æèçöø÷4.坐标变换¢x1¢x2¢x3æèçççöø÷÷÷=D-1x1x2x3æèçççöø÷÷÷¢e1¢e2¢e3()=e1e2e3()Dìíïïïîïïï新老坐标系下的坐标分量转换关系为：该坐标转换的一个应用：二维平面坐标系转换基向量转换关系：故坐标转换关系为：x1x2¢x1¢x2q¢e1¢e2()=e1e2()cosq-sinqsinqcosqæèçöø÷¢x1¢x2æèçöø÷=cosqsinq-sinqcosqæèçöø÷x1x2æèçöø÷4.坐标变换总结一下：（1）坐标变换公式推导用到了爱因斯坦求和约定：该公还表明对任意一个矢量，虽然坐标分量和基向量发生变化，但基矢量的线性组合构成的矢量实体具有不变性。类似地，后面二阶张量变换的推导也是基于张量实体的不变性。（2）要找到坐标变换，只需要找到新老坐标系下的基向量的转换关系，然后采用坐标转换公式即可得到。类似地，后面后面二阶张量变换的推导也是基于此思想。OA=xiei=¢xj¢ej¢x1¢x2¢x3æèçççöø÷÷÷=D-1x1x2x3æèçççöø÷÷÷¢e1¢e2¢e3()=e1e2e3()Dìíïïïîïïï5.张量变换此处所要推导的张量变换公式是以二阶张量作为出发点，但所推导的张量变换公式对所有阶数的张量都成立。推导张量变换公式之前，先明确张量的形式化定义：其中为张量的分量，为基向量和的并矢。所谓并矢即将为基向量和并排在一起构成，它们整体可以理解为张量的分量对应的基。根据爱因斯坦求和约定：s=sijeiejsijeiejeiejeiejeiejs=sijeiej=s1je1ej+s2je2ej+s3je3ej=s11e1e1+s12e1e2+s13e1e3+s21e2e1+s22e2e2+s23e2e3+s31e3e1+s32e3e2+s33e3e35.张量变换此处所要推导的张量变换公式是以二阶张量作为出发点，但所推导的张量变换公式对所有阶数的张量都成立。推导张量变换公式之前，先明确张量的形式化定义：其中为张量的分量，为基向量和的并矢。所谓并矢即将为基向量和并排在一起构成，它们整体可以理解为张量的分量对应的基。根据爱因斯坦求和约定：张量对应的矩阵形式即为：s=sijeiejeiejeiejeiejeiejs=sijeiej=s1je1ej+s2je2ej+s3je3ej=s11e1e1+s12e1e2+s13e1e3+s21e2e1+s22e2e2+s23e2e3+s31e3e1+s32e3e2+s33e3e3sijss11s12s13s21s22s23s31s32s33æèçççöø÷÷÷5.张量变换此处所要推导的张量变换公式是以二阶张量作为出发点，但所推导的张量变换公式对所有阶数的张量都成立。推导张量变换公式之前，先明确张量的形式化定义：其中为张量的分量，为基向量和的并矢。所谓并矢即将为基向量和并排在一起构成，它们整体可以理解为张量的分量对应的基。根据爱因斯坦求和约定：张量对应的矩阵形式即为：s=sijeiejeiejeiejeiejeiejs=sijeiej=s1je1ej+s2je2ej+s3je3ej=s11e1e1+s12e1e2+s13e1e3+s21e2e1+s22e2e2+s23e2e3+s31e3e1+s32e3e2+s33e3e3sijss11s12s13s21s22s23s31s32s33æèçççöø÷÷÷5.张量变换此处所要推导的张量变换公式是以二阶张量作为出发点，但所推导的张量变换公式对所有阶数的张量都成立。推导张量变换公式之前，先明确张量的形式化定义：其中为张量的分量，为基向量和的并矢。所谓并矢即将为基向量和并排在一起构成，它们整体可以理解为张量的分量对应的基。根据爱因斯坦求和约定：张量对应的矩阵形式即为：。如果，就称张量为对称张量。对应的矩阵即为对称矩阵。s=sijeiejeiejeiejeiejeiejs=sijeiej=s1je1ej+s2je2ej+s3je3ej=s11e1e1+s12e1e2+s13e1e3+s21e2e1+s22e2e2+s23e2e3+s31e3e1+s32e3e2+s33e3e3sijss11s12s13s21s22s23s31s32s33æèçççöø÷÷÷sij=sjis5.张量变换明确了二阶对称张量与对称矩阵的对应关系后。下面具体推导张量变换公式。根据张量实体的不变性有：s=sijeiej=¢smn¢em¢en令。根据爱因斯坦求和约定有：将其代入，则有：亦即：故有：¢ei=Cijej¢em=Cmiei¢en=Cnjejìíîs=sijeiej=¢smnemens=sijeiej=¢smn¢em¢en=¢smn(Cmiei)(Cnjej)sijeiej=¢smnCmiCnjeiejsij=¢smnCmiCnj5.张量变换明确了二阶对称张量与对称矩阵的对应关系后。下面具体推导张量变换公式。根据张量实体的不变性有：s=sijeiej=¢smn¢em¢en令。根据爱因斯坦求和约定有：将其代入，则有：亦即：故有：，将该式写为矩阵形式即为：¢ei=Cijej¢em=Cmiei¢en=Cnjejìíîs=sijeiej=¢smnemens=sijeiej=¢smn¢em¢en=¢smn(Cmiei)(Cnjej)sijeiej=¢smnCmiCnjeiejsij=¢smnCmiCnj5.张量变换sij=Cmi¢smnCnj=Cmi¢