常微分方程期末试卷(A)

教研室主任(签字)：系主任(签字)：第1页共6页广西师范大学漓江学院试卷（2008—2009学年第二学期）课程名称：常微分方程课程序号：开课院系：理学系任课教师：陈迪三年级、专业：07数学考试时间：120分钟考核方式：闭卷■开卷□试卷类型：A卷■B卷□一、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)(请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分).1、方程0d),(d),(yyxNxyxM有积分因子()uuy的充要条件为1()NMyMxy.2、),(yxfy连续是保证),(yxf对y满足利普希茨条件的充分条件条件．3、函数组ttteee2,,的朗斯基行列式值为2222264tttttttttteeeeeeeeee．4、若)(),(21xyxy是二阶齐次线性微分方程的基本解组，则它们无(有或无)共同零点．5、若矩阵A具有n个线性无关的特征向量nvvv,,,21，它们对应的特征值分别为n,,21，那么常系数线性方程组Axx'的一个基解矩阵)(t=1212[,,,]ntttnevevev.二、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.)(请在每小题的括号中填上正确答案，错填、不填均无分)1、形如()()ndyPxyxydx(0,1)n的方程是（D）.A．欧拉方程B．贝塞尔方程C．黎卡尔方程D．伯努力方程得分评卷人得分评卷人第2页共4页2、设(),()pxqx连续，)(),(21xyxy是()()0ypxyqxy在(,)上的两个线性无关解，且12(0)0,(0)0yy，则（A）.（A）(0)0,(0)0pq（B）(0)1,(0)0pq（C）(0)0,(0)1pq（D）(0)1,(0)1pq3、二阶非齐次线性微分方程的所有解（C）．（A）构成一个2维线性空间（B）构成一个3维线性空间（C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间4、如果),(yxf，yyxf),(都在xoy平面上连续，而且),(yxf有界，则方程),(ddyxfxy的任一解的存在区间（A）．（A）必为),(（B）必为),0(（C）必为)0,(（D）将因解而定5、若()x是齐次线性方程组()dYAxYdx的一个基解矩阵，T为非奇异nn常数矩阵，那么()xT是否还是此方程组的基解矩阵（B）.(A)不是(B)是(C)也许是(D)也许不是三、计算题(本题共4小题，每小题6分，共24分)(求下列微分方程的通解).1、2d2dyxxyxy；1、解：将方程变为22(1)xydydxx.............................（2分）则有221(1)(1)ydydxx..........................（1分）从而得221ln(1)2yxc(c为任意的常数）．…………………………（3分）2、0)d(d)(3223yyyxxxyx；得分评卷人得分第3页共4页解：由于xNxyyM2，所以原方程是恰当方程．（2分）假设存在u使得它同时满足方程：32uxxyx和23uxyyy（1分）则有42211()42uxxyy且2'()uxyyy，所以'3()yy（2分）41()4yy，即原方程的通解为：42242xxyyC..............................（1分）3、'22costxxxet；解：齐次方程的特征方程为21,2220,1i齐次方程的通解为).sincos(21tctcext……………………（2分）令titexxx)1('22，并求其特解如下：由于i1是单根，故设特解为(1)()itxtAtBe代入原方程比较系数得.41,4BiA所以)].cos(sin)sin[(cos41tttittttext则原方程有特解}Re{x).sin(cos41ttttet……………………（3分）故原方程的通解为)sincos(21tctcext).sin(cos41ttttet……………………（1分）4、2'30txtxx；解：令方程的解为kxt，代入原方程有(1)310kkk……………（3分）于是1k（二重）（1分）故原方程的通解为1112ln||xctctt（2分）四、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)(写出解题的详细步骤).（1）设函数()x连续且满足00()()()xxxxettdtxtdt，求()x.解：两边关于x求一阶导数，有0()()xxxetdt…………………（2分）得分评卷人得分第4页共4页两边关于x再求一阶导数，得()()xxex…………………（2分）即()()xxxe而且(0)(0)1………………（1分）而方程()()xxxe的解表示为121()cossin2xxcxcxe………………（3分）由(0)(0)1，可得111()cossin222xxxxe…………………（2分）（2）求方程组313dxxydtdyydt满足初始条件11)0(的解.解：方程组的特征方程为231(3)003，所以特征根为3（二重）……………………（2分）对应齐次方程组的基解矩阵331exp(3)01tttAteIAEte………………（3分）满足初始条件的特解0()expexpexp()()ttAtAtAsfsds……………（2分）33303113333332133311111=0110101011=1010=tttsttttttttseeedstteeeteee……………………（3分）五、证明题(本大题共2小题，每小题13分，共26分)(写出解题的详细步骤，空间不够请将答案写在试卷背后).1、假设01tx是二阶齐次线性方程021xtaxtax的解，其中tata21和在区间ba,上连续，试证：（1）tx2是方程的解的充要条件为：0,,21121xxwaxxw；（2）方程的通解可以表示为：2121110exp1cdtdssaxcxxtt，其中21,cc为常数,batt,,0.证：（１）0,,21121xxwaxxw得分评卷人第5页共4页的解。为即(*)0,00002121212212121211211211211212112112121xxxaxaxxaxaxxxxaxxaxxaxxaxxxxaxxaxxxx……………………（6分）（２）因为21,xx为方程的解，则由刘维尔公式ttttdssadssaetwxxxxetwxxxx01010212102121:,即……………………（3分）两边都乘以211x则有：ttdssaextwdtxxd0121012，于是：122112221112010111xcdtexcxcdtexcxxttttdssadssa即：……………………（4分）第6页共4页2.设)(1xy和)(2xy是方程0)(yxqy的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式cxw)(，其中c为常数.证明：因为12(),()yxyx方程0)(yxqy的任意两个解所以1122()()()0,()()()0xqxxxqxx，……………………（4分）于是12(),()xx构成的伏朗斯基行列式1212()()()()()xxWxxx12121212()()()()()()()()()()0xxxxWxxxxxqx……………（5分）由于)(1xy和)(2xy是方程0)(yxqy的解，因此1122()()()0,()()()0xqxxxqxx，所以()0wx，故()wxc…（4分）学号：姓名：所属院系：