常微分方程中变量变换方法的探讨

江西师范大学2008届学士学位毕业论文江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文常微分方程中变量变换方法的探讨TheStudyonMethodofVariable-transformedinOrdinaryDifferentialEquations姓名：学号：学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：龙薇（讲师）完成时间：2008年4月20日江西师范大学2008届学士学位毕业论文I常微分方程中变量变换方法的探讨张三【摘要】在这篇文章中，我们主要讨论用变量变换方法来求解常微分方程。文章分为三部分。首先，我们介绍了常微分方程的基本概念和变量变换方法在方程中的地位与作用。在第二部分里，我们讨论了一阶常微分方程中几种能够用变量变换方法求解的类型。例如，变量分离方程、一阶线性微分方程、一阶隐方程等等。最后，我们探讨的是几类能够用变量变换方法求解的高阶常微分方程。在这一部分里，我们先是讨论了非齐次线性方程和欧拉方程这两种二阶方程。然后再研究了几种可降阶的高阶微分方程。贯穿全文方法的就是变量变换。【关键词】一阶常微分方程高阶常微分方程变量变换方法TheStudyonMethodofVariable-transformedinOrdinaryDifferentialEquationsZhangSan【Abstract】Inthispaper,wemainlydiscusssolvingordinarydifferentialequationsbymethodofvariable-transformed.Thisarticleisdividedintothreesections.Inthefirstsection,weintroducethebasicconceptofordinarydifferentialequations,andthestatusandroleofmethodofvariable-transformedinequations.Then,insection2,wediscussaboutseveraltypesoffirstorderordinarydifferentialequations,whichcanbesolvedwithmethodofvariable-transformed.Forexample,thereare江西师范大学2008届学士学位毕业论文IIvariable-separatedequation,firstorderlineardifferentialequation,firstorderimplicitdifferentialequationandsoon.Atlast,whatwestudyaresomeclassesofhigherorderordinarydifferentialequationswhichcanbesolvedwithmethodofvariable-transformed.Inthissection,wefirstlyintroducetwosecondorderordinaryequations,non-homogeneouslinearequationandEuler'sequation.Thenwestudysometypesofhigherorderequationswhichcanbereduced.Throughoutthispaper,themethodofvariable-transformedisused.【Keywords】firstorderordinarydifferentialequationshigherorderordinarydifferentialequationsmethodofvariable-transformed目录1引言……………………………………………………………………………………………12基本概念……………………………………………………………………………12.1微分方程…………………………………………………………………………………12.2常微分方程……………………………………………………………………………12.3阶数………………………………………………………………………………………22.4线性和非线江西师范大学2008届学士学位毕业论文III性……………………………………………………………………………22.5通解和特解………………………………………………………………………………22.6变量变换法………………………………………………………………………………23一阶常微分方程中变量变换方法的探讨……………………………………………33.1可化为变量分离方程的类型…………………………………………………………33.1.1基本类型…………………………………………………………………………33.1.2其它类型…………………………………………………………………………53.2一阶线性方程…………………………………………………………………………73.2.1非齐次线性方程和伯努利(Bernoulli)方程…………………………………73.2.2黎卡提(Riccati)方程………………………………………………………83.3一阶隐方程……………………………………………………………………………104高阶常微分方程中变量变换方法的探讨……………………………………………124.1两种二阶方江西师范大学2008届学士学位毕业论文IV程……………………………………………………………………124.2非齐次线性方程和欧拉方程……………………………………………………144.3几种可降阶的高阶方程……………………………………………………………155小结…………………………………………………………………………………………18参考文献………………………………………………………………………………………19致谢………………………………………………………………………………………19江西师范大学2008届学士学位毕业论文11引言本文主要讲述的是常微分方程中变量变换方法的探讨．微分方程的求解方法各式各样，一般是根据它的类型来选择求解方法．基于变量变换法是一种非常普遍的技巧，而且在很多类型的方程上都有它的运用，这里就重点探讨它的运用．微分方程具有广泛的社会实践性，无论是在各类学科领域上，还是在实际生产生活中，都有举足轻重的作用．它所涉及范围之广，致使前人对它做了很深入的研究．它可以解决很多问题，但得依赖于先把实际问题转化为微分方程，然后再对方程求解．由于方程类型比较繁杂，所以求解方法比较多，致使不便很好掌握．通过各方面地学习与总结，发现变量变换法在求解方程上运用得比较频繁，可以说是一种比较常用的技巧．而且它的过程清晰明了，简单易懂．因此对变量变换方法有必要进行探讨，但由于多方面的原因，本文肯定还有很多欠考虑或者不完善之处，请大家多多谅解，并给出修改意见，本人一定会多方吸取，同时本人也会多参考其它资料，并仔细斟酌，以使文章尽量减少疏漏之处．本文主要采用的是探讨式的研究方法，也即给出一个问题，然后探究式地用变量变换方法去解决它．通过对不同方程都采用变量变换方法来探讨，希望大家能找到运用该方法的技巧，以便日后能更广泛、更灵活地运用于其它方程上．本文内容主要分为三块：一是有关该文的一些预备知识，主要是一些常微分方程的概念；后两块就是关于求解常微分方程中一阶和高阶类型里变量变换方法的探讨．后面两块是本文的重点内容，在文章中作了比较详细的分析，全文的引线就是变量变换方法．2基本概念2.1微分方程数学分析中所研究的函数是反映客观世界运动过程中量与量的一种关系．但在大量的实际问题中遇到稍微复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系（即函数）往往不能直接写出来，却比较容易地建立这些变量和它们的导数（或微分）间的关系式，数学上称之为微分方程，当然其中未知数的导数或微分是不可缺少的．2.2常微分方程我们已经知道微分方程就是联系着自变量、未知函数以及它的导数的关系式．如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程．本文所介绍的主要是常微分方程，有时就简称微分方程或方程．江西师范大学2008届学士学位毕业论文2方程22()dydybcyftdtdt(2.1)2()0dydytydtdt(2.2)就是常微分方程的例子，这里y是未知数，t是自变量．2.3阶数微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数．例如，方程(2.1)是二阶常微分方程．一般的n阶常微分方程具有形式(,,,,)0nndydyFxydxdx，(2.3)这里(,,,,)nndydyFxydxdx是,,,,nndydyxydxdx的已知函数，而且一定含有nndydx；y是未知函数，x是自变量．2.4线性和非线性如果方程(2.3)的左端为y及,,nndydydxdx的一次有理整式，则称(2.3)为n阶线性方程．例如，方程(2.1)是二阶线性微分方程．一般n阶线性微分方程具有形式1111()()()()nnnnnndydydyaxaxaxyfxdxdxdx(2.4)这里1()()naxax，，，()fx是x的已知函数．不是线性方程的方程称为非线性方程．例如，方程22sin0dgdtl是二阶线性方程，而(2.2)是一阶非线性方程．2.5通解和特解如果函数()yx代入方程（2.3）后，能使它变为恒等式，则称函数()yx为方程(2.3)的解．我们把含有n个独立的任意常数12,,,nccc的解12(,,,,)nyxccc称为n阶方程(2.3)的通解．如果方程(2.3)的解()yx不包含任意常数，则称它为特解．江西师范大学2008届学士学位毕业论文32.6变量变换法微分方程的问题终归要转到求解上来，那么有什么求解方法呢？我们知道微分方程有很多种形式，但最简单的一种就是变量分离方程，它可以用初等积分法求解．而碰到其它类型，我们最常用的技巧就是用变量变换来改变方程的形状，让它转化为我们能求解的类型，这种方法称为变量变换法．本文着重介绍的就是常微分方程中该方法的探讨．3一阶常微分方程中变量变换方法的探讨本章将介绍一些能用变量变换方法求解的一阶微分类型.我们知道变量分离方程可以直接将变量分离然后积分求解，但一阶常微分方程中不可能都是此类型．因此，我们要根据实际情况将方程变形再求解．3.1可化为变量分离方程的类型形如()()dyfxydx(3.1)的方程，称为变量分离方程，这里()fx，()y分别是x，y的连续函数．在很多书上都有介绍这类方程可以直接将变量分离然后用初等积分法就可求解．变量分离方程是最基本的方程，而有些微分方程，表面上看并不是变量分离方程，但经过一两次适当变量变换就可化为变量分离方程．下面将介绍这类方程．3.1.1基本类型我们这里说的基本类型是指与齐次方程有关的．齐次方程是形如()dyygdxx(3.2)的方程，这里()gu是u的连续函数．若作变换yux，方程(3.2)就化为一个变量分离方程1(()))duguudxx，直接将变量分离便可用初等积分法求解．接下来看看可化为齐次方程的类型．一、基本形式：111222axbycdydxaxbyc.(3.3)二、更为一般的形式：111222()axbycdyfdxaxbyc,(3.4)()dyfaxbycdx.(3.5)通过观察，发现方程(3.3)和方程(3.5)是(3.4)的特殊形式，所以我们只要江西师范大学2008届学士学位毕业论文4以方程(3.4)为例来研究就行．1。当120cc时，方程(3.4)变为奇次方程1122()axbydyfdxaxby．2。当11220abab即1221abab,及12,cc不全为零时，我们简单的以2a、2b来讨论：1)220ab且20c时，