基于“核心素养”的数学解题研究(林新建)

基于“核心素养”的数学解题研究漳州一中林新建一.高中数学核心素养的具体内容博士生导师王尚志教授作了“关于普通高中数学课程标准修订”的专题报告，提出中国学生在数学学习中应培养好“数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析”这六大核心素养。1.数学抽象数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。2.逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。3.数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。4.直观想象直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。5.数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段。数学运算是计算机解决问题的基础。6.数据分析数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程。主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论。数据分析是大数据时代数学应用的主要方法，已经深入到现代社会生活和科学研究的各个方面。在数据分析核心素养的形成过程中，学生能够提升数据处理的能力，增强基于数据表达现实问题的意识，养成通过数据思考问题的习惯，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。二.数学思想是数学素养的核心内容《数学课程标准》在修订的过程中，继承了我国数学教学中传统的“双基”教学，同时提出了“基本思想、基本活动经验”，使“双基”上升为“四基”。这样突出了培养学生的创新精神和实践能力，强调了数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。数学思想是解决数学问题的指导思想和重要策略，是体现学生数学素养、数学学习的灵魂。《数学课程标准》指出：“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程……使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想，获得基本的数学活动经验”。在教学中，我们可以窥见数学思想是伴随在数学知识学习、数学思维活动之中的，数学思想方法、数学基本知识转化为数学能力是数学素养的核心体现。培养学生的创新精神和实践能力，最终转化为创造能力，永远是我们的教学追求。三.立意于思想，运用思想引领解题是培养核心素养的关键要素知识是载体，方法是手段，思想是灵魂，它们是知识体系的三个层次。在强调对数学活动的指导时称数学思想。在强调具体操作（如推理、解题和建模等）时则称数学方法。——严格来说，数学方法是数学思想的具体化。为什么有许多人解决不了一些并不复杂甚至是简单的数学问题呢？——除了极少数的人不知道相应的数学知识外，绝大部分不是不会方法。——而是由于没有站在思想的高度来思考和引领方法。——或者是因为思想不明确而想不起来用什么方法来处理问题。因此，唯有立意于思想，树立起运用思想引领解题的意识，才能真正培养和提升学生的数学核心素养。以下以全国卷为例予以说明！1.立意于“特殊与一般思想”，运用“特殊化策略”求解“一般性问题”在数学全国卷中，经常会设置一些具有“一般性”特征的试题，即“动态元素对任意情况都成立”，或“变量间存在相关性与一致性”的试题，以此考查学生对“特殊与一般思想”的理解与应用。此时应立意于“特殊与一般思想”，运用“特殊化策略”予以求解，能使问题获得轻松解决。（2014年高考课标全国卷Ⅰ第8题）设(0,)2，(0,)2，且1sintancos，则（）A．32B．22C．32D．22（2010年新课标全国卷理科11题）已知函数lg,010,16,02xxfxxx＜＞1若,,abc互不相等，且fafbfc，则abc的取值范围是A．1,10B．5,6C．10,12D．20,24（2009年高考全国卷Ⅰ理科11题）函数()fx的定义域为R，若(1)fx与(1)fx都是奇函数，则A.()fx是偶函数B.()fx是奇函数C.()(2)fxfxD.(3)fx是奇函数（2013年高考新课标卷Ⅰ理科16题）若函数()fx=22(1)()xxaxb的图像关于直线2x对称，则()fx的最大值是______.取0x和1x，由(4)(0)ff，(3)(1)ff可得：8a，15b，从而()fx22(1)(815)xxx(1)(1)(3)(5)xxxx22(43)(45)xxxx。令24xxt，则4t，(3)(5)ytt22(215)(1)16ttt16，当且仅当1t时“”成立，所以()fx的最大值为16。（2012年高考全国新课标卷理科16题）数列na满足1(1)21nnnaan，则na的前60项和为______。由1(1)21nnnaan，得121(1)nnnana。令11a，则22a，31a，46a，51a，610a，71a，814a，…，可以猜想，奇数项均为1；偶数项是以2为首项，4为公差的等差数列，故603029301(3024)18302S。（2013年高考新课标卷Ⅰ理科11题）已知函数()fx22,0ln(1),0xxxxx，若|()fx|ax，则a的取值范围是A．(,0]B．(,1]C．[2,1]D．[2,0]本题按常规方法求解较为繁琐，若能结合选择题的特征运用特殊化策略予以求解，简直不费吹灰之力。取1x，得3a，可排除选项A、B；取1x，则ln2a，可排除选项C，故正确选项为D。（2016年福建省高三质检考理科11题）已知12,FF分别为双曲线222210,0xyCabab：的左、右焦点，若点P是以12FF为直径的圆与C右支的一个交点，1PF交C于另一点Q，且12PQQF，则C的渐近线方程为A．2yxB．12yxC．2yxD．22yx（2016年福建省高三质检考理科12题）已知)(xf是定义在R上的减函数，其导函数fx满足1fxxfx，则下列结论正确的是（A）对于任意Rx，)(xf0（B）对于任意Rx，)(xf0（C）当且仅当1,x，)(xf0（D）当且仅当,1x，)(xf0令()1xfxe，则)(xf为R上减函数，且'()xfxe，1xxfxexxfxe1xxe，又1xex，所以12xxe，所以1fxxfx成立，以下验证选项容易判断正确答案为B。（2014年高考全国卷Ⅰ理科17题）已知数列na的前n项和为nS，11a，0na，11nnnaaS，其中为常数。（1）证明：2nnaa；（2）是否存在，使得na为等差数列？并说明理由。本题难在第（Ⅱ）问，难在判断是否存在，以及如何求出的值。其实，若能立意于“特殊与一般思想”，借助“特殊化策略”不难使问题轻松得以解决。由11a及11nnnaaS，可得21a，又由2nnaa可得31a。由问题的一般性知，若na为等差数列，则1a，2a，3a必成等差，由2132aaa即得4，以下不难予以证明。（2013年高考新课标卷Ⅰ理科21题）已知函数()fx＝2xaxb，()gx＝()xecxd，若曲线()yfx和曲线()ygx都过点(0,2)P，且在点P处有相同的切线42yx（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x2时，()fx()kgx，求k的取值范围。解析：本题难在第（Ⅱ）问，难在如何对参数k分类讨论。第（Ⅱ）问，由（Ⅰ）知2()42fxxx，()2(1)xgxex。构造函数()Fx=()()kgxfx=22(1)42xkexxx，则()Fx=2(2)24xkexx=2(2)(1)xxke(2)x，至此需对k分类讨论，但许多学生不知应该从何开始讨论，如何分类？其实，若能借助“特殊化”策略，不仅可轻松探明讨论方向，而且可大大简化讨论过程。由题设可知()0Fx对一切2x成立，所以可取0x探路。由(0)0F，即得10k，所以1k。至此问题就好解决了，由'()2(2)(1)xFxxke12(2)()xkxek，因2x，21xee，只需讨论211ke与211ke即可，这是容易做到的。2.立意于“有限与无限思想”，运用“极限化策略”求解“无限性问题”在数学全国卷中，经常会设置一些具有“无限性”特征的试题，即“问题中的变量可无限逼近于某个值，或动点可无限趋向于某个位置”，以此考查学生对“有限与无限思想”的理解与应用。此时应立意于“有限与无限思想”，运用“极限化策略”将元素极限化，可使问题轻松获解。（2014年高考课标全国卷Ⅰ第8题）设(0,)2，(0,)2，且1sintancos，则（）A．32B．22C．32D．22（2010年新课标全国卷理科11题）已知函数lg,010,16,02xxfxxx＜＞1若,,abc互不相等，且fafbfc，则abc的取值范围是A．1,10B．5,6C．10,12D．20,24（2015年高考新课标卷Ⅰ理科16题）在平面四边形ABCD中，75ABC，2BC，则AB的取值范围是_________。本题运用极限思想求解简单快捷当DA，则75BC，30A，由正弦定理得sin30sin75BCAB,从而62AB，当DC，则75AB，30C，由正弦定理得sin75sin30BCAB,从而62AB，所以(62,62)AB。（2013年高考新课标卷Ⅱ理科12题）已知点(1,0)A，(1,0)B，(0,1)C，直线yaxb(0)a将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是A.(0,1)B.21(1,)22C.21(1,]23D.11[,)32（2001年高考全国卷理科11题）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜，记三种盖法屋顶面积分别为1P、2P、3P。若屋顶斜面