微积分2-2第四章习题解答-

一、填空题1.递减2.递增3.递减4.23二、单选题1.A2.C3.B4.A（该题没有极大值，ln2是极小值）5.A三、计算题（1）22ln(321)limxxxx262321lim2xxxxx（罗比达法则）262lim2321xxxxx（整理）26lim1882xxx（罗比达法则）=0（无穷大的倒数为无穷小）（2）0lnsin5limlnsin7xxx05cos5sin5lim7cos7sin7xxxxx（洛比达法则）05cos55lim7cos77xxxxx（等价无穷小代换）0cos5limcos7xxx（整理）=1（代入有意义）（3）21354lim()11xxxx21354(1)lim()111xxxxxx211lim1xxx（通分）11lim2xx（洛比达法则）=12（代入）（4）1cos5cos5lim1xxx15sin5lim1xx（洛比达法则，注意cos5是常数，导数为0）=5sin5（代入）（5）0ln(15)lim2xxx0515lim2xx（洛比达）05lim2(15)xx（整理）52（代入）（6）0ln(18)limsin3xxx0ln(18)lim3xxx（等价无穷小代换，~sin0xxx）088lim33xxx（等价无穷小代换ln(1)~0xxx）提示：也可按照第5题方式用洛比达法则，同学们自己体会两种做法。Sin3x最好做一个无穷小代换，因为3x求导要比sin3x简单一些（7）23211122limlim133xxxxxx（8）29290029limlim71xxxxxxeeeex9.确定函数322123017yxxx的单调区间解：求函数的导数：'2624306(5)(1)yxxxx驻点为：5x，1x列表如下x,5-55,111,y’-0+0-y递减递增递减因此单调递减区间为,5和1,；单调递增区间为5,110.确定函数(21)xyxe的单调区间.解：求函数的导数：'22121xxxyexexe，驻点为：12x列表如下x1,212x1,2y’-0-y递减递增因此单调递减区间为1,2；单调递增区间为1,211.求函数32395yxxx的极值解：求函数的导数：'23693(3)(1)yxxxx驻点为：3x，1x列表如下x,335,111,y’+010+y递增极大值递减极小值递增可知，函数在3x，1x取到极值极大值为322f，极小值为110f，12求函数ln(1)yxx的极值.解：定义域为1,求函数的导数：'12111xyxx，驻点为：2x；列表如下x,222,y’-0+y递减极小值递增可知，函数在2x取到极小值；极小值为22f13.删15.求曲线3233148yxxx的凸凹区间解：求函数的导数：'29614yxx；二阶导数为186yx0y时，13x。列表如下x1,3131,3y+0-y上凹拐点下凹上凹区间为1,3，下凹区间为1,316.求函数3223yxx在区间[-1,4]上的最大值和最小值求函数的导数：'2666(1)yxxxx驻点为：0x，1x因此函数在区间[-1,4]上的最大值和最小值只可能在1f、0f、1f、4f之间产生15f，00f，11f，480f因此，最大值为80.最小值为-517.某化工厂要造一个圆柱形油罐（有底有盖），体积为18立方米，问底半径和高各等于多少时，油罐的表面积最小？解：设底半径为r，高为h。设油罐表面积为S由已知：218rh油罐表面积222Srhr，要求其最小2222183622222Srhrrrrrr求导数'2364Srr，'0S时，表面积最小。此时39r，3922hr18.某车间靠直墙壁要盖一间面积为50平方米的长方形小屋，问怎样设计才能使用料最省（忽略上盖）解：用料最小就是要求表面积最小，由于高度一定，也就是要求长方形的周长（去掉靠着的直墙）最小设长方形的长为x，宽为50x，设周长为y因此长方形的周长501002yxxxx'21001yx，在'0y时取到最小。此时10x，10x（舍去）宽为5.因此要使面积最小，应设计长为10宽为5的长方形四．证明题1.证明当x0时，有xx1211证明：设1112fxxx，因此只需证明0fx'1111122211fxxx0x时，'0fx，因此函数在0,单调递增对任意0x，00fxf。命题得证。2.证明当x0时，有xex12证明：设21xfxex，因此只需证明0fx'221xfxe0x时，'0fx，因此函数在0,单调递增对任意0x，00fxf。命题得证。