成才之路北师大版数学必修1-第34章综合测试题

第三、四章综合测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若logx7y＝z，则x，y，z之间满足()A．y7＝xzB．y＝x7zC．y＝7xzD．y＝zx[答案]B[解析]logxy17＝z，17logxy＝z，y＝x7z.2．设集合M＝{x|x≤m}，N＝{y|y＝3－x，x∈R}，若M∩N≠∅，则实数m的取值范围是()A．m≥0B．m0C．m≤0D．m0[答案]B[解析]N＝(0，＋∞)，要使M∩N≠∅，利用数轴易知m0.3．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A．[0,1]B．[1,2]C．[－2，－1]D．[－1,0][答案]D[解析]∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝13－1＝－230，f(0)＝30－02＝10，∴f(－1)·f(0)0，∴有零点的区间是[－1,0]．4．函数f(x)＝x＋1x的零点是()A．1B．－1C．±1D．不存在[答案]D[解析]由f(x)＝0知f(x)不存在零点．5．(2013·陕西高考)设a，b，c均不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac[答案]B[解析]由换底公式得logab·logca＝lgblga·lgalgc＝lgblgc＝logcb，B正确．6．若a14a23，则a的范围是()A．a1B．0a1C.14a23D．a23[答案]B[解析]∵1423，a14a23，∴y＝ax在(0，＋∞)上是减函数．∴0a1，故选B.7．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数[答案]B[解析]f(x)＝3x＋3－x且定义域为R，则f(－x)＝3－x＋3x，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)为偶函数．同理得g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．故选B.8．(23)23，(25)23，(23)13的大小关系为()A．(23)13(25)23(23)23B．(25)23(23)13(23)23C．(23)23(23)13(25)23D．(23)13(23)23(25)23[答案]D[解析]∵y＝(23)x为减函数，1323，∴(23)13(23)23.又∵y＝x23在(0，＋∞)上为增函数，且2325，∴(23)23(25)23，∴(23)13(23)23(25)23.故选D.9．生物学中指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约只有10%～20%的能量能够流动到下一个营养级，在H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中，若能使H6获得10kJ的能量，则需要H1最多提供的能量是()A．107kJB．106kJC．105kJD．104kJ[答案]B[解析]设H1最多提供的能量为xkJ，则x·(110)5＝10，即x＝106.10．设函数f(x)＝log2x，x0，log12－x，x0.若f(a)f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)[答案]C[解析]解法1：由图像变换知函数f(x)图像如图，且f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，∴f(a)f(－a)化为f(a)0，∴当x∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，f(a)f(－a)，故选C.解法2：①若a0，则－a0，∴log2alog12a⇒log2alog21a⇒a1a⇒a1.②若a0，则－a0，log12(－a)log2(－a)⇒log2(－1a)log2(－a)⇒－1a－a⇒a21⇒a∈(－1,1)．又∵a0，∴－1a0.由①②可知a∈(－1,0)∪(1，＋∞)．故选C.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．已知函数y＝f(2x)定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为__________．[答案][2，4][解析]∵函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，∴－1≤x≤1，∴12≤2x≤2，∴函数y＝f(log2x)中，12≤log2x≤2，∴2≤x≤4，∴函数y＝f(log2x)的定义域为[2，4]．12．若函数y＝mx2＋x－2没有零点，则实数m的取值范围是________．[答案](－∞，－18)[解析]当m＝0时，函数有零点，所以应有m≠0Δ＝1＋8m0，解得m－18.13．已知函数f(x)＝log23x＋1x3log13x3x≥3，则f[f(73)]的值是__________．[答案]－3[解析]∵f(x)＝log23x＋1x3log13x3x≥3，∴f[f(73)]＝f[log2(3×73＋1)]＝f(log28)＝f(3)＝log1333＝3log133＝－3.14．某类产品按质量可分10个档次(第1档次为最低档次，第10档次为最高档次)，最低档次的产品，每件利润为8元，如果产品每提高一个档次，则每件利润增加2元；最低档次产品每天可生产60件，用同样的工时，每提高一个档次将少生产3件产品，则生产第__________档次的产品，所获利润最大．[答案]9[解析]设生产第x档次的产品获利为y元，则y＝[8＋2×(x－1)][60－3(x－1)]＝(6＋2x)(63－3x)＝6(x＋3)(21－x)＝6(－x2＋18x＋63)＝－6(x－9)2＋864.∴当x＝9时，y取最大值，即获利最大．15．给出以下结论，其中正确结论的序号是________．①函数图像通过零点时，函数值一定变号②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号③函数f(x)在区间[a，b]上连续，若满足f(a)·f(b)0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上一定有实根④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效[答案]②③[解析]零点有变号零点与不变号零点，故①不对；“二分法”针对的是连续不断的函数的变号零点，故④不对．据零点的性质知②③都正确．三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)(1)计算：(279)12＋(lg5)0＋(2764)－13；(2)解方程：log3(6x－9)＝3.[解析](1)原式＝(259)12＋(lg5)0＋[(34)3]－13＝53＋1＋43＝4.(2)由方程log3(6x－9)＝3得6x－9＝33＝27，∴6x＝36＝62，∴x＝2.经检验，x＝2是原方程的解．∴原方程的解为x＝2.17．(本小题满分12分)已知函数y＝log4(2x＋3－x2)，(1)求函数的定义域；(2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值．[解析](1)由真数2x＋3－x20，解得－1x3，所以函数的定义域为{x|－1x3}；(2)将原函数分解为y＝log4u，u＝2x＋3－x2两个函数．因为u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4≤4，所以y＝log4(2x＋3－x2)≤log44＝1.所以当x＝1时，u取得最大值4，又y＝log4u为单调增函数，所以y的最大值为y＝log44＝1，此时x＝1.18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝2x－2，x∈[1，＋∞，x2－2x，x∈－∞，1，求函数g(x)＝f(x)－14的零点．[解析]求函数g(x)＝f(x)－14的零点，即求方程f(x)－14＝0的根．当x≥1时，由2x－2－14＝0得x＝98；当x1时，由x2－2x－14＝0得x＝2＋52(舍去)或x＝2－52.∴函数g(x)＝f(x)－14的零点是98或2－52.19．(本小题满分12分)已知函数y＝a2x＋2ax＋3(a0，a≠1)在区间[－1,1]上有最大值11，试求a的值．[解析]y＝a2x＋2ax＋3＝(ax)2＋2ax＋3＝(ax＋1)2＋2，令ax＝t，则y＝(t＋1)2＋2，当a1时，因为－1≤x≤1，所以1a≤ax≤a，即1a≤t≤a.因为函数的对称轴为t＝－1，所以当t＝a时函数取最大值，所以(a＋1)2＋2＝11，所以a＝2；当0a1时，因为－1≤x≤1，所以a≤ax≤1a，即a≤t≤1a，所以当t＝1a时函数取最大值，所以1a＋12＋2＝11，所以a＝12.综上所述，a的值是2或12.20．(本小题满分13分)已知f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(其中a0且a≠1)．(1)求f(x)＋g(x)的定义域；(2)判断f(x)＋g(x)的奇偶性并说明理由；(3)求使f(x)＋g(x)0成立的x的集合．[解析](1)f(x)＋g(x)的定义域需满足x＋10，1－x0，∴－1x1，∴定义域为(－1,1)．(2)f(x)＋g(x)为偶函数设F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(－x)＝loga(－x＋1)＋loga(1＋x)＝F(x)，又因为F(x)的定义域为(－1,1)关于原点对称，所以f(x)＋g(x)为偶函数．(3)由f(x)＋g(x)0得loga(x＋1)＋loga(1－x)0，∴－1x1，loga1－x20，当a1时－1x1，01－x21，得x∈(－1,0)∪(0,1)；当0a1时－1x1，1－x21，解集为空集．综上所述当a1时，使f(x)＋g(x)0成立的x的集合为(－1,0)∪(0,1)；当0a1时使f(x)＋g(x)0成立的x的集合为∅.21．(本小题满分14分)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R)．(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．[解析](1)依题意：由f1＝6f2＝14，有a1＋b1＝04a1＋2b1＝8，解得：a1＝4，b1＝－4，∴f(x)＝4x2－4x＋6.由g1＝6g2＝8，有3a2＋b2＝69a2＋b2＝8，解得a2＝13，b2＝5，∴g(x)＝13×3x＋5＝3x－1＋5.所以甲厂在今年5月份的利润为f(5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g(5)＝86万元，故有f(5)＝g(5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(2)作函数图像如下：从图中可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；当1x5时，有f(x)g(x)；当5x≤12时，有f(x)g(x)．