高一函数恒成立与存在性问题

函数恒成立与存在性问题沈阳市第十一中学赵拥权（一）基础知识：1.恒成立问题：①∀x∈D,af(x)恒成立,则a𝑓(𝑥)𝑚𝑎𝑥②∀x∈D,af(x)恒成立,则a𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛③∀x∈D,g(x)f(x)恒成立,记F(X)=g(x)−f(x)0,则（g(x)−f(x)）𝑚𝑖𝑛0④∀x∈D,g(x)f(x)恒成立,记F(X)=g(x)−f(x)0,则（g(x)−f(x)）𝑚𝑖𝑛0⑤∀𝑥1∈𝐷1,𝑥2∈𝐷2,𝑓(𝑥1)𝑔(𝑥2）恒成立,则𝑓(𝑥1)𝑚𝑖𝑛𝑔(𝑥2）𝑚𝑎𝑥⑥∀𝑥1∈𝐷1,𝑥2∈𝐷2,𝑓(𝑥1)𝑔(𝑥2）恒成立,则𝑓(𝑥1)𝑚𝑎𝑥𝑔(𝑥2）𝑚𝑖𝑛2.存在性问题：①∃x∈D,af(x)成立,则a𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛②∃x∈D,af(x)成立,则a𝑓(𝑥)𝑚𝑎𝑥③∃x∈D,g(x)f(x)成立,记F(X)=g(x)−f(x)0,则（g(x)−f(x)）𝑚𝑎𝑥0④∃x∈D,g(x)f(x)成立,记F(X)=g(x)−f(x)0,则（g(x)−f(x)）𝑚𝑎𝑥0⑤∃𝑥1∈𝐷1,𝑥2∈𝐷2,𝑓(𝑥1)𝑔(𝑥2）成立,则𝑓(𝑥1)𝑚𝑎𝑥𝑔(𝑥2）𝑚𝑖𝑛⑥∃𝑥1∈𝐷1,𝑥2∈𝐷2,𝑓(𝑥1)𝑔(𝑥2）成立,则𝑓(𝑥1)𝑚𝑖𝑛𝑔(𝑥2）𝑚𝑎𝑥3.恒成立与存在性混合不等式问题：①∀x∈𝐷1,∃𝑥2∈𝐷2,𝑓(𝑥1)𝑔(𝑥2）成立,则𝑓(𝑥1)𝑚in𝑔(𝑥2）𝑚𝑖𝑛②∀𝑥1∈𝐷1,∃𝑥2∈𝐷2,𝑓(𝑥1)𝑔(𝑥2）成立,则𝑓(𝑥1)𝑚𝑎𝑥𝑔(𝑥2）𝑚𝑎𝑥4.恒成立与存在性混合等式问题：若f(x),g(x)的值域分别为A,B,则①∀𝑥1∈𝐷1,∀𝑥2∈𝐷2,𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)成立,则A=B②∀𝑥1∈𝐷1,∃𝑥2∈𝐷2,𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)成立,则AB③∃𝑥1∈𝐷1,∃𝑥2∈𝐷2,𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)成立,则A∩B≠∅5.解决数学恒成立与存在性问题的方法：①函数性质法；②参数分离（主参分离）法；③主参互换法；④数形结合法；典例分析：例一：(1).已知a∈[−1,1]时不等式𝑥2+(𝑎−4)𝑥+4−2𝑎0恒成立，则x的取值范围为___;(2).不等式2xm(𝑥2−1)对满足|𝑚|≤2的一切实数m都成立，则x的取值范围为___;(3).已知a是实数，函数f(x)=2a𝑥2+2𝑥−3在x∈[−1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围____;(4).若关于x的不等式a𝑥2−2𝑥+20在区间(1,4)上恒成立,则实数a的取值范围____;(5).已知a是实数，函数f(x)=𝑥2+2(𝑎−2)𝑥+4在x∈[−3,1]上f(x)o恒成立，则实数a的取值范围____;（6）．不等式𝑥2+𝑚𝑥−10对于任意x∈[𝑚,𝑚+1]都成立，则m的取值范围为___;.(7).已知函数f(x)=a𝑥2+2(𝑎−2)𝑥+𝑎−4.，当x∈(−1,1)时，恒有f(x)0，则a的取值范围_____(8).已知函数f(x)=2−ax.当x∈(1,2)时，恒有f(x)1，则a的取值范围_____(9)已知一次函数f(x)=(1−m)x+2m+3当x∈(−2,2)时，恒有f(x)0，则m的取值范围_____例二：（1）.若存在实数x,使关于x的不等式a𝑥2−4𝑥+𝑎−30成立,则实数a的取值范围____;（2）.关于x的不等式𝑥2+𝑎𝑥−20在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围____;（3）.关于x的二次方程𝑥2+9𝑚−1)𝑥+1=0在区间[0,2]上有解,则实数m的取值范围____;（4）.不等式𝑥2+𝑚𝑥−10对于x∈(2,3)有解，则m的取值范围为___;.(5).当x∈(0,12)时,不等式4𝑥=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥有解,求实数a的取值范围;例三：已知函数f(x)=12𝑥2+𝑥,𝑔(𝑥)=ln(𝑥+1)−𝑎;①∀𝑥1∈[0,2],𝑥2∈[0,2],使𝑓(𝑥1)𝑔(𝑥2)恒成立，求实数a的取值范围;②∀𝑥1∈[0,2],∃𝑥2∈[0,2],使𝑓(𝑥1)𝑔(𝑥2)成立，求实数a的取值范围;③∃𝑥1∈[0,2],∀𝑥2∈[0,2],使𝑓(𝑥1)𝑔(𝑥2)成立，求实数a的取值范围;④∃𝑥1∈[0,2],∃𝑥2∈[0,2],使得𝑓(𝑥1)𝑔(𝑥2)，求实数a的取值范围;⑤∃𝑥1∈[0,2],∀𝑥2∈[0,2],使得𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)，求实数a的取值范围;⑥∃𝑥1∈[0,2],∃𝑥2∈[0,2],使得𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)，求实数a的取值范围;例四：（1.当x∈(1,2)时,不等式(𝑥−1)2𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥恒成立,求实数a的取值范围;(2).当x∈(0,12)时,不等式4𝑥𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥恒成立,求实数a的取值范围;(3).已知f(x)=m(x−2m)(x+m+3),g(x)=2𝑥−2.若∀x∈R,f(x)0或g(x)0，则m的取值范围习题：1.当x∈(−∞,−1]时,不等式(𝑚2−𝑚)4𝑥−2𝑥0恒成立,求实数m的取值范围;2.已知函数f(x)=𝑙𝑜𝑔𝑎(2x-a),∀x∈[12,23],恒有f(x)0则实数a的取值范围;3.已知函数f(x)=𝑥2+𝑎𝑥+3,∀x∈[−2,2],恒有f(x)a,则实数a的取值范围;4.已知函数f(x)=lg(1+2𝑥+4𝑥3),若x∈(−∞，1)时,恒有f(x恒有意义，则实数a的取值范围;5.已知函数f(x)=𝑥3+𝑥,∀m∈[−2,2],恒有f(mx−2)+f(x)0,则实数m的取值范围;6.已知a0且a≠1,函数f(x)=𝑥2−𝑎𝑥,当x∈(−1,1)时,恒有f(x)12,则实数a的取值范围;7.已知函数f(x)=log2𝑥+1𝑥−1,当x∈(1,+∞)时,恒有f(x)+𝑙𝑜𝑔2(𝑥−1)𝑚,则实数m的取值范围;8.已知函数f(x)=2𝑥−2−𝑥,∀t∈[1,2],恒有2𝑡𝑓(2𝑡)+𝑚𝑓(𝑡)≥0,则实数m的取值范围;9.已知函数f(x)=m𝑥2−𝑚𝑥−1,∀x∈[1,3],恒有f(x)−m+5,则实数m的取值范围;