数学解题过程中的语言转换

精品论文荟萃用心爱心专心118号为您服务-1-数学解题过程中的语言转换陕西特级教师:安振平数学语言的呈现通常有三种形式：文字语言、符号语言、图形语言．每种语言各有其特点，在数学中发挥着不同的作用．数学解题的本质就在于实现这三种语言之间的相互转化，而转换的前提需要有一定量的知识积累，并能够正确运用数学原理分析文字语言、符号语言和图形语言之间的内在的逻辑关系，习惯于逐字、逐句、逐个符号、逐个图形的去分析、去翻译、去变式转换．这当中，从一点突破，可能会带动全局，快速找出解题的思维路线．例1已知定义在区间]32,[上的函数)(xfy的图象关于直线6x对称，当]32,6[x时，函数)22,0,0()sin()(AxAxf，其图象如图所示.(1)求函数)(xfy在]32,[的表达式；(2)求方程22)(xf的解.讲解（1）观察函数)(xfy的图象，将图形语言转化符号语言，易得：3,1,1A．即],[326x时，函数)sin()(3xxf．由函数)(xfy的图象关于直线6x对称，得知，],[6x时，函数xxfsin)(.故),[sin],[)sin()(63263xxxxxf.（2）当],[326x时，由223)sin(x，得125124343xxx或或．当],[6x时，由22sinx，得443xx或.故方程22)(xf的解集为},,,{12512443．点评本题是图形语言转化为符号语言的范例．当中的分段函数是历年高考的热门话题，应当引起读者的重视．例２电视台为某个广告公司特约播放两套片集．其中片集甲播映时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万，片集乙播映时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万。广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间．电视台每周应播映两套片集各多少次，才能获得最高的收视率？讲解设片集甲播映x集，片集乙播映y集，于是就可将问题中的文字语言转换为下列的不等式组,,,0,0,861121,6NyNxyxyxyxxyoπ16x326y68621O68611x(4，2)精品论文荟萃用心爱心专心118号为您服务-2-要使收视率最高，则只要z=60x+20y最大即可．接下来，将上面的不等式组转化为图形语言．由右图可知，当x=4，y=2时，z=60x+20y取得最大值280万.故电视台每周片集甲和片集乙各播映4集和2集，其收视率最高.点评本题是涉及人民日常生活的一道好题，求解时用到线性规划知识，这是高中数学里值得重视的知识点．例３某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：1998年1999年2000年新植亩数100014001800沙地亩数252002400022400而一旦植完，则不会被沙化：问：（１）每年沙化的亩数为多少？（２）到那一年可绿化完全部荒沙地？讲解解答应用题时，需要抓住题目中关键文字，将其转换为数学的符号语言．（1）由表知，每年比上一年多造林400亩．（等差数列！）因为1999年新植1400亩，故当年沙地应降为23800140025200亩，但当年实际沙地面积为24000亩，所以1999年沙化土地为200亩．同理2000年沙化土地为200亩．所以每年沙化的土地面积为200亩.（2）由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩．设2000年及其以后各年的造林亩数分别为1a、2a、3a、…，则n年造林面积总和为：4002)1(1600nnnSn.由题意得nSn20024000，化简得012072nn，解出8n.故8年，即到2007年可绿化完全部沙地．点评数列问题解答时一定要注意项数，本题易误答为２００８年！例４下表给出一个“等差数阵”：精品论文荟萃用心爱心专心118号为您服务-3-47（）（）（）……aj1……712（）（）（）……aj2……（）（）（）（）（）……aj3……（）（）（）（）（）……aj4………………………………………………ai1ai2ai3ai4ai5……aij………………………………………………其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．（１）写出a45的值；（２）写出aij的计算公式；（３）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．讲解学会按步思维，从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值．（１）按第一行依次可读出：,1013a1314a，1615a；按第一行依次可读出：,1723a2224a，2725a；最后，按第５列就可读出：,3835a4945a．（２）因为该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，所以它的通项公式是：ajj1431()而第二行是首项为7，公差为5的等差数列，于是它的通项公式为：ajj2751()……通过递推易知，第i行是首项为431()i，公差为21i的等差数列，故有.)12()1)(12()1(34jjijiiaij（３）先证必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得Nijj()21．精品论文荟萃用心爱心专心118号为您服务-4-从而12)12(212jjiN()()2121ij，这说明正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．再证充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得212121Nkl()()，从而Nkllakl()21，由此可见N在该等差数阵中．综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.点评本题是２００４年春季高考压轴题，是一道考知识，考能力的活题，具有一定的探究味道．例５已知倾斜角为45的直线l过点)2,1(A和点B，B在第一象限，23||AB.(1)求点B的坐标；(2)若直线l与双曲线1:222yaxC)0(a相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标为)1,4(，求a的值；(3)对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称||PQ的最小值为P与线段AB的距离.已知点P在x轴上运动，写出点)0,(tP到线段AB的距离h关于t的函数关系式.讲解(1)由倾斜角为45，得直线的斜率145tank，于是直线AB方程为3xy．①以点A为圆心，以23||AB为半径，建立原的方程：182122yx．②于是，点),(yxB是直线①与圆②的一个交点．（这种图形语言我们并没有画出来！）由,18)2()1(,322yxxy及0x，0y，解得4x，1y．故点B的坐标为)1,4(．（２）由方程,,32222ayaxxy消去y，转换为关于x的一元二次方程0106)1(2222axaxa，设),(,),(2211yxFyxE，则4221621aaxx，故得正数2a．（３）设线段AB上任意一点Q坐标为)3,(xxQ，这里41x，则22)3()(||xxtPQ，精品论文荟萃用心爱心专心118号为您服务-5-记2)3(223222)(2)3()()(ttxxxtxf)41(x，下面需要分类转换求解最小值．当123t时，即1t时，)(xf在]4,1[上单调递增，4)1()1(||2mintfPQ．当4123t时，即51t时，2|3|23min)(||ttfPQ；当423t时，即5t时，)(xf在]4,1[上单调递减，1)4()4(||2mintfPQ；综上可知，.51)4(;51;14)1()(22|3|2ttttttht点评本例是２００４年上海市春季高考试题．问题的精彩之处在于将解析几何、函数、不等式融为一体，是一道较好的能力型考题．解题中的分类讨论的划分标准是以二次函数的顶点横坐标与函数的定义域的关系而定的．