数学物理方程期中考参考答案

学院姓名学号任课老师考场教室__________选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……第1页共页电子科技大学2011-2012学年第一学期期中考试A卷课程名称：数学物理方程考试形式：闭卷考试日期：2011年11月11日考试时长：90分钟本试卷试题由四部分构成，共五页。题号一二三四合计得分一、（30分）假设21(),,xCC考虑一维波动方程的初值问题：22222000,0,,(),(),.ttuuatxtxuuxxxt证明它的解(,)uxt由下述的达朗贝尔(D’Alembert)公式给出:11(,)[()()]().22xatxatuxtxatxatydya解：令atx，,xat则uuxuxuxu，uuatututu，uuuxu22222222，222222222.uuuuat代入022222xuatu中，得2240.ua得分学院姓名学号任课老师考场教室__________选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……第2页共页由于02a，即可知20.u把它关于积分一次，再关于积分一次，可知它的通解为,,uFG其中F和G是任意两个可微的单变量函数。将和替换回原来的自变量，则原方程的通解为.,atxGatxFtxu由初始条件可得0()()(),tuFxGxx（1）0()()().tuaFxGxxt（2）由（2）式两边积分，得0()()(),xxaFxGxCd（3）其中0x是任意一点，而C是积分常数。由（1）和（3），解得0011()()(),22211()()().222xxxxCFxxdaaCGxxdaa把F,G代入u的表达式中，就可得原问题的解11(,)[()()]().22xatxatuxtxatxatda将此表达式代入原方程组，易知：若21(),,xCC它确实是一维波动方程的柯西问题的经典解。学院姓名学号任课老师考场教室__________选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……第3页共页二、（25分）求解下面的半无界弦的振动问题：2222000sin,0,0,(),(),0,0,ttxuuxtxtxuuxxxtu其中21(),,xCC并且满足(0)(0)''(0)0.解：由叠加原理，原问题的解可分解为,,21uutxu其中1u和2u分别是下面问题的解：22220000,0,0,(),(),0,()0,ttxuutxtxuuxxxItu和2222000sin,0,0,0,0,0,()0,ttxuuxtxtxuuxIItu问题（I）对应的柯西问题的解，由达朗贝尔公式给出：111,.22xtxtvxtxtxtd由题意知xx,仅在x0上给出，为利用达朗贝尔解，必须将xx,开拓到0x上，为此利用边值条件，得10.2ttttd因此对任何t可以令得分学院姓名学号任课老师考场教室__________选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……第4页共页,0,ttttd即,xx可以奇开拓到0x上。记开拓后的函数为xx,：.0,,0,,0,,0,xxxxxxxxxx此时解为11,.22xtxtUxtxtxtd问题（II）对应的柯西问题的解，可由齐次化原理给出：()20()1,sin.2xttxtvxtdd因为sin是奇函数，故（II）的解奇延拓到全空间后即为2,vxt。因此原问题的解为()0()111,sin.222xtxttxtxtuxtxtxtddd当tx时，)()(0sin212121,txtxttxtxdddtxtxtxu111[2sinsin()sin()];222xtxtxtxtdxxtxt当0xt时，)()()()(0sin21sin212121,txtxtxttxxtxttxxtdddddxttxtxu111[2sinsin()sin()].222xttxxttxdxxtxt若21(),,xCC并且满足相容性条件：(0)(0)''(0)0,则,uxt是此半无界问题的经典解。学院姓名学号任课老师考场教室__________选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……第5页共页0三、（30分）求解下面的初边值问题：.0,0,2sin,0,0,0,00002222lxxttxuulxtuulxtxutu解：首先分离变量。令)()(),(tTxXtxu，将它代入方程得()()()()0.XxTtXxTt则存在常数使得()()0,()()0.XxXxTtTt由边界条件得：()()0,(0)0,()0.XxXxXXl(1)求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。10时，方程的通解为xxececxX21)(由0)0(X得021cc由0)(lX得021llecec解以上方程组，得01c，02c，故0时得不到非平凡解。20时，方程的通解为xccxX21)(由边值0)0(X得01c，再由0)(lX得02c，仍得不到非平凡解。30时，方程的通解为xcxcxXsincos)(21得分学院姓名学号任课老师考场教室__________选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……第6页共页由0)0(X得01c，再由0)(lX得0cos2lc。为了使02c，必须0cosl，于是2212lnn)2,1,0(n且相应地得到xlnxXn212sin)()2,1,0(n将代入方程0)()(tTtT，解得tlnBtlnAtTnnn212sin212cos)()2,1,0(n于是0212sin)212sin212cos(),(nnnxlntlnBtlnAtxu再由初始条件得00212sin2122sin212sin0nnnnxlnBlnlxxlnA解得0nAdlnlnBln212sin2sin)12(400,00,2nnl故原问题的解为2(,)sinsin.22ltxuxtll将此表达式代入方程以及初边值条件中验算，可知(,)uxt是该初边值问题的经典解。学院姓名学号任课老师考场教室__________选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……第7页共页四、（15分）论述并举例说明惠更斯原理以及波的弥散现象。要点：由波方程柯西问题的解的泊松公式可知，波的无后效现象（惠更斯原理）和有后效现象（波的弥散）取决于空间维数的奇偶性。（1）惠更斯原理：奇数维空间（一维除外）中的球面波，传过之后不会留下后续效应。若波方程的行波解的速度为a,则由泊松公式可知，在离声源M0距离为r的一点M1,只有在时间t=r/a的时候才受到初始时刻在M0发出的瞬时扰动的影响，而过后马上回复到扰动前的状态。在现实中，如果初始扰动发生在某个有界区域，则一段时间后，影响的区域是一个半径一致的球面簇，其前后阵面（包络面）可以被容易地观察到。例子：三维的声波。从某个声源发出声波后，过一段时间传入耳中，并且声音的长短和发出的声音是一样的。（2）波的弥散：在偶数维空间或一维空间中，波的传播有后续效应。由泊松公式可知，声源M0的影响区域是一个M0为中心的球（二维时为圆），所以在离声源M0距离为r的一点M1,在某时刻开始受到初始时刻在M0发出的瞬时扰动的影响，此后仍会继续受到影响，但会减弱（因为泊松公式的分母中有时间t）。如果初始扰动发生在某个有界区域，则容易观察到波传播的前阵面，但观察不到后阵面。例子：二维的水波。把垂直石头扔进水中，会产生持续的波纹，并且在某个固定点的波纹会从清晰变得模糊。得分