数列求和的方法总结教案

细节决定未来授课教案学员姓名：__________授课教师：_所授科目：学员年级：__________上课时间：___年__月___日___时___分至___时___分共___小时教学标题教学目标熟练掌握：专题数列求和的方法总结教学重难点重点掌握：考点内容：上次作业检查正确数：正确率：问题描述：授课内容：一复习上次课内容：二梳理知识（新课内容）数列求和的常用方法：(1)公式法：必须记住几个常见数列前n项和等差数列：2)1(2)(11dnnnaaanSnn；等比数列：11)1(111qqqaqnaSnn；(2)分组求和：如：求1+1,41a,712a,…,2311nan,…的前n项和可进行分组即：2374111111132naaaan前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和（注：12)13(12)13(annannSn）(3)裂项法：如)2(1nnan，求Sn，常用的裂项111)1(1nnnn，)211(21)2(1nnnn；])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnn(4)错位相减法：其特点是cn=anbn其中{an}是等差，{bn}是等比如：求和Sn=1+3x+5x2+7x3+……+(2n－1)xn－1注意讨论x，1)1()1()12()12(1212xxxxnxnxnSnnn(5)倒序求和：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证：Cn0+3Cn1+5Cn2+…+(2n—1)Cnn=(n+1)2n细节决定未来三典型例题典型题（一）公式法求和如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.①等差数列求和公式：11122nnnaannSnad②等比数列求和公式：11111111nnnnaqSaqaaqqqq常见的数列的前n项和：123……+n=(1)2nn，1+3+5+……+(2n-1)=2n2222123……+n=(1)(21)6nnn，3333123……+n=2(1)2nn等.题1：等比数列{}na的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则2232221naaaa＝413n题2：若12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn，则a=,b=,c=.解：原式=.6326)12()1(23nnnnnn答案：61;21;31典型题（二）倒序相加法求和：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列na，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.题1：已知函数222xxfx（1）证明：11fxfx；（2）求128910101010ffff的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，128910101010Sffff令982110101010Sffff则两式相加得：192991010Sff所以92S.小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.针对训练:求值：222222222222123101102938101S典型题（三）错位相减法求数列的前N项和：类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.若nnnabc，其中nb是等差数列，nc是公比为q等比数列，令112211nnnnnSbcbcbcbc则nqS122311nnnnbcbcbcbc两式相减并整理即得题1：已知12nnan，求数列｛an｝的前n项和Sn.解：01211222(1)22nnnSnn①12121222(1)22nnnSnn②②—①得01121222221nnnnnSnn细节决定未来题外音：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列nc的公比q；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.题2：;,212,,25,23,2132nn的前n项和为____2332nnnS题3：23230,1nnSxxxnxxx典型题（四）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似1nncaa（其中na是各项不为零的等差数列，c为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：（1）1111nnkknnk，特别地当1k时，11111nnnn（2）11nknknkn特别地当1k时111nnnn题1:数列na的通项公式为1(1)nann，求它的前n项和nS解：1231nnnSaaaaa1111112233411nnnn=11111111112233411nnnn1111nnn题2：1111447(32)(31)nn31nn.：1111...243546(1)(3)nn=、1111122323nn题4：数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有：am＋n＝am＋an＋mn，则20083211111aaaa()A．20094016B．20092008C．10042007D．20082007解：先用叠加法得到：2)1(nnan，∴)111(2)1(21nnnnan，∴)200911(2)20091200813121211(211112008321aaaa20094016．题外音裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.针对训练：求数列1111,,,,,1223321nn的前n项和nS.典型题（五）拆分组求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.题1：求和：123235435635235nnSn解：123235435635235nnSn123246235555nn2111553113114515nnnnnn题2：数列2211,(12),(122),,(1222),n的通项公式na，前n项121;22nnn题3：设m=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)·n，则m等于(A)A.3)1(2nnB.21n(n+4)C.21n(n+5)D.21n(n+7)题4：数列1,1617,815,413,21,前n项和为（A）（A）1212nn（B）212112nn（C）1212nnn（D）212112nnn题外音这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解.针对训练：求和：23123nnSaaaan典型题（六）奇偶并项求和法题1：设1357(1)(21)nnSn，则nS＝___2(1)nn.题2：若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n，则S17+S33＋Ｓ50等于()A.1B.-1C.0D.2解：对前n项和要分奇偶分别解决，即：Sn=)(2)(21为偶为奇nnnn答案：A题3：1002-992+982-972+…+22-12的值是A.5000B.5050C.10100D.20200解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案：B细节决定未来四课堂练习（可以另附资料）五课堂小结（对本次课知识、考点、方法等进行归纳）六下次课内容：课后作业：学员课堂表现：签字确认学员_____________教师_____________班主任_____________