春高中数学第3章不等式3.2均值不等式第2课时基本不等式的应用-证明问题同步练习新人教B版必修5

-1-【成才之路】2016年春高中数学第3章不等式3.2均值不等式第2课时基本不等式的应用-证明问题同步练习新人教B版必修5一、选择题1．a、b、c是互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc，则下列关系中可能成立的是()A．abcB．cabC．bacD．acb[答案]C[解析]∵a、c均为正数，且a≠c，∴a2＋c22ac，又∵a2＋c2＝2bc，∴2bc2ac，∵c0，∴ba，排除A、B、D，故选C．2．设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1＝b1，a21＝b21，则()A．a11＝b11B．a11b11C．a11b11D．a11≥b11[答案]D[解析]∵an0，bn0，a1＝b1，a21＝b21，∴a11＝a1＋a212＝b1＋b212≥b1b21＝b11，等号成立时，b1＝b21，即此时{an}、{bn}均为常数列，故选D．3．若正数x、y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A．245B．285C．5D．6[答案]C[解析]本题考查了均值不等式的应用．由x＋3y＝5xy得15y＋35x＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·(15y＋35x)＝3x5y＋12y5x＋95＋45≥23x5y·12y5x＋135＝125＋135＝5，当且仅当3x5y＝12y5x时，得到最小值5.-2-4．已知R1、R2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①、②连接，设相应的总阻值分别为RA、RB，则RA与RB的大小关系是()A．RARBB．RA＝RBC．RARBD．不确定[答案]A[解析]RA＝R1＋R22，RB＝2R1R2R1＋R2，RA－RB＝R1＋R22－2R1R2R1＋R2＝R1＋R22－4R1R2R1＋R2＝R1－R22R1＋R20，所以RARB．5．已知a1，b1，且lga＋lgb＝6，则lga·lgb的最大值为()A．6B．9C．12D．18[答案]B[解析]∵a1，b1，∴lga0，lgb0，又lga＋lgb＝6，∴lga·lgb≤(lga＋lgb2)2＝(62)2＝9，故选B．6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件[答案]B[解析]由题意知仓储x件需要的仓储费为x28元，所以平均费用为y＝x8＋800x≥2x8×800x＝20，当且仅当x＝80等号成立．二、填空题7．已知2x＋3y＝2(x0，y0)，则xy的最小值是________．[答案]6-3-[解析]2x＋3y≥26xy，∴26xy≤2，∴xy≥6.8．若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．[答案]233[解析]∵x2＋y2＋xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1.又∵xy≤(x＋y2)2，∴(x＋y)2≤(x＋y2)2＋1，即34(x＋y)2≤1.∴(x＋y)2≤43.∴－233≤x＋y≤233.∴x＋y的最大值为233.三、解答题9．已知a、b、c∈R，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．[解析]∵a＋b2≤a2＋b22，∴a2＋b2≥a＋b2＝22(a＋b)(a，b∈R等号在a＝b时成立)．同理b2＋c2≥22(b＋c)(等号在b＝c时成立)．a2＋c2≥22(a＋c)(等号在a＝c时成立)．三式相加得a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥22(a＋b)＋22(b＋c)＋22(a＋c)＝2(a＋b＋c)(等号在a＝b＝c时成立)．10．已知a0，b0，且a＋b＝1，求证：(a＋1)2＋(b＋1)2≥92.[解析]∵a0，b0，∴a＋b≤a2＋b2，-4-∴(a＋1)＋(b＋1)≤a＋2＋b＋2，又∵a＋b＝1，∴3≤a＋2＋b＋2，∴(a＋1)2＋(b＋1)2≥92，当且仅当a＝b＝12时，等号成立．∴(a＋1)2＋(b＋1)2≥92.一、选择题1．若a、b、c、d、x、y是正实数，且P＝ab＋cd，Q＝ax＋cy·bx＋dy，则有()A．P＝QB．P≥QC．P≤QD．PQ[答案]C[解析]Q＝ax＋cy·bx＋dy＝ab＋cd＋adxy＋bcyx≥ab＋cd＋2abcd＝ab＋cd＝P.2．已知x≥52，则f(x)＝x2－4x＋52x－4有()A．最大值54B．最小值54C．最大值1D．最小值1[答案]D[解析]∵x≥52，∴x－2＞0，则f(x)＝x2－4x＋52x－4＝12x－＋1x－≥1，等号在x－2＝1x－2即x＝3时成立．3．已知yx0，且x＋y＝1，那么()A．xx＋y2y2xyB．2xyxx＋y2y-5-C．xx＋y22xyyD．x2xyx＋y2y[答案]D[解析]∵yx0，且x＋y＝1，∴设y＝34，x＝14，则x＋y2＝12，2xy＝38.∴x2xyx＋y2y.故选D．4．设a、b是正实数，给出以下不等式：①ab2aba＋b；②a|a－b|－b；③a2＋b24ab－3b2；④ab＋2ab2，其中恒成立的序号为()A．①③B．①④C．②③D．②④[答案]D[解析]∵a、b∈R＋时，a＋b≥2ab，∴2aba＋b≤1，∴2aba＋b≤ab，∴①不恒成立，排除A、B；∵ab＋2ab≥222恒成立，故选D．二、填空题5．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．[答案]1760[解析]设水池池底的一边长为xm，则另一边长为4xm，则总造价为：y＝480＋80×2x＋2×4x×2＝480＋320x＋4x≥480＋320×2x×4x＝1760.当且仅当x＝4x即x＝2时，y取最小值1760.所以水池的最低总造价为1760元．-6-6．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是________．[答案]3[解析]以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立直角坐标系，设P(x，y)，则AB方程为x3＋y4＝1，∵x，y∈R＋，∴1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.三、解答题7．若x0，y0，x＋y＝1，求证：(1＋1x)·(1＋1y)≥9.[解析]证法一：左边＝(1＋1x)(1＋1y)＝1＋1x＋1y＋1xy＝1＋x＋yxy＋1xy＝1＋2xy≥1＋2x＋y22＝9＝右边．当且仅当x＝y＝12时，等号成立．证法二：∵x＋y＝1，∴左边＝(1＋1x)(1＋1y)＝(1＋x＋yx)(1＋x＋yy)＝(2＋yx)(2＋xy)＝5＋2(yx＋xy)≥5＋4＝9＝右边．当且仅当x＝y＝12时，等号成立．8．已知a、b、c∈R＋，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.[解析]∵a、b、c∈R＋，a2b，b2c，c2a均大于0，又a2b＋b≥2a2b·b＝2a，b2c＋c≥2b2c·c＝2b，-7-c2a＋a≥2c2a·a＝2c，三式相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2a＋2b＋2c，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.