第二章：一元函数微分学(上)

56第二章：一元函数微分学本章重点是掌握导数与微分的概念，用定义确定函数在某点的可导性，掌握导数与微分的计算方法，掌握中值定理的条件、结论及应用，用导数研究函数的性态．本篇难点是中值定理的应用．§2.1导数与微分本节重点是掌握导数和微分的概念，能用定义确定函数在某点的可导性、掌握导数与连续之间的关系、掌握导数与微分的计算方法．特别是复合函数、参数方程、隐函数、反函数、分段函数的求导方法．●常考知识点精讲一、导数概念1．导数定义：设函数()yfx在0x点的某个邻域内有定义，若极限0000()()limlimxxfxxfxyxx存在，则称()fx在0x点可导，并称该极限值为()fx在0x点的导数，记作0()fx，或0xxy，0xxdydx等．2．右导数定义：设函数()yfx在0x点的某个右邻域内有定义，若极限0000()()limlimxxfxxfxyxx存在，则称该极限值为()fx在0x点的右导数，记作0()fx．3．左导数定义：设函数()yfx在0x点的某个左邻域内有定义，若极限0000()()limlimxxfxxfxyxx存在，则称该极限值为()fx在0x点的左导数，记作0()fx．评注：左、右导数常用于判定分段函数在分段点的可导性．4．函数在区间上的可导性定义：若函数()fx在区间(,)ab内的任意点x处导数()fx都存在，则称()fx在区间(,)ab内可导，又若(),()fafb都存在，则称()fx在区间[,]ab上可导．[例1.1]设0()fx存在，求000()()limhfxhfxhh．57解：000()()limhfxhfxhh00000[()()][()()]limhfxhfxfxhfxh000000[()()][()()]limlimhhfxhfxfxhfxhh02()fx．二、函数可导的条件命题1：()fx在0x可导的必要（非充分）条件是()fx在0x处连续．命题2：()fx在0x可导的充分与必要条件是00(),()fxfx都存在且相等．[例1.2]设函数2,1(),1xxfxaxbx，为了使函数在1x处可导，,ab应取什么值？解：()fx在1x处可导，必有()fx在1x处连续由于11lim()lim()xxfxaxbab，211lim()lim1xxfxx而()fx在1x处连续的充要条件为11lim()lim()(1)xxfxfxf，故1ab又111()(1)1(1)limlimlim111xxxfxfaxbaxafaxxx2111()(1)1(1)limlimlim(1)211xxxfxfxfxxx而()fx在1x处可导充分必要条件为(1)(1)ff，即2a故当2a，1b时，()fx在1x处可导．三、导数的几何意义与物理意义1．几何意义函数()yfx在0xx处的导数0()fx是曲线()yfx在点00(,())xfx处切线的斜率．2．物理意义质点作直线运动，t时刻质点的坐标为()xxt，0()xt是质点在0tt时刻的瞬时速度．四、导数的计算1．基本初等函数的导数公式（1）()0c（常数）（2）1()xx（为实数）58（3）()ln(0,1)xxaaaaa（4）()xxee（5）1(log)(0,1)lnxaaaxa（6）1(ln)xx（7）(sin)cosxx（8）(cos)sinxx（9）21(tan)cosxx（10）21(cot)sinxx（11）(sec)sectanxxx（12）(csc)csccotxxx（13）21(arcsin)1xx（14）21(arccos)1xx（15）21(arctan)1xx（16）21(arccot)1xx2．导数的四则运算法则设(),()uxvx都可导，则(1)()uvuv；(2)()uvuvuv,特别()cucu（c为常数）；(3)2()uuvuvvv(0v).3.复合函数求导设()ux在x处可导,()yfu在对应的()ux处可导,则复合函数[()]yfx在x处可导,且[[()]]()()fxfux,即dydydudxdudx4.反函数求导若()xy在某区间内单调、可导,且()0y,则其反函数()yfx在对应的区间内也可导,且1()()fxy[例1.3]填空⑴设1tan1sinxyex，则_____________y；⑵设21()lim(1)txxfttx，则()_________ft；59⑶设(x)是单调函数(x)的反函数，且都可导，如果3(1)2,(1),3(2)则=_________解：⑴11tantan22211111cos()sinsec()xxyeexxxxx1tan221111(cossinsec)xexxxx；⑵由于这是极限函数，应先求出()ft的表达式再求导数221()lim(1)txtxftttex所以2()(12)tftte；⑶由于若()xy是函数()yfx的反函数，00()yfx，而0()fx存在，且0()0fx，则001()()yfx．故1(2)3(1)．五、高阶导数的概念1．高阶导数定义:如果()yfx作为x的函数在点x可导,则y的导数称为()yfx的二阶导数记为,()yfx或22dydx,(2)y.一般地,函数()yfx的n阶导数为()(1)[]nnyy,也可写作()()nfx或nndydx2.高阶导数运算法则设(),()uuxvvx在x处n阶可导,则(1)()()()()nnnuvuv(2)()()()nncucu(c为常数)(3)()0()1(1)1(1)()()nnnnnnnnnnnuvCuvCuvCuvCuv603．几个常见的初等函数的n阶导数公式（1）()()lnxnxnaaa（2）()(sin())sin()2nnnaxbaaxb（3）()(cos())cos()2nnnaxbaaxb（4）()11(1)!()()nnnnanaxbaxb（5）1()(1)(1)!(ln())()nnnnanaxbaxb[例1.4]填空题⑴已知f为二阶可导函数，且[ln(1)]yfx，则______y；⑵已知函数()yyx由方程2610yexyx，则(0)____y；⑶设函数123yx，则()(0)___ny．解：⑴由于1[ln(1)]1yfxx，所以y2[ln(1)][ln(1)](1)fxfxx．⑵由方程2610yexyx可得，当0x时，0y方程两端对x求导得6620yeyyxyx将0x代入得，(0)0y方程两端对x继续求导得2()12620yyeyeyyxy将0x代入得，(0)2y，⑶由于()12(1)!(23)nnnnnyx，于是()12(1)!(0)3nnnnny．六、微分的概念1．微分定义：设函数()yfx在0x点的某个邻域内有定义，当自变量0xx有增量x时，若存在与x无关的常数0()Ax使得函数的增量00()()yfxxfx可表为：610()()yAxxox（0)x则称()yfx在0xx点可微，0()Axx称为()yfx在0xx点的微分．评注：()yfx在0xx点的微分就是该函数在0xx点函数增量的线性主要部分．2．微分的几何意义函数()yfx在点0x处的微分0()dyfxx，在几何上表示曲线()yfx在点00(,())xfx的切线当自变量x在点0x处有增量x时，切线纵坐标的增量．3．可微与导数关系定理：()fx在点0x可导()fx在点0x可微．[例1.5]填空题⑴若函数12[()]xyfx，其中f是可微的正值函数，则_______dy；⑵设函数()yyx由方程2xyxy确定，则0______xdy．解：⑴由于函数可写为21ln()efxxy，所以1221[()][ln()]xdyfxdfxx，故111222221[2()()[()]ln()]xxdyfxfxfxfxdxx．⑵这是一个求隐函数微分的问题．由方程2xyxy可得，当0x时，1y．在方程两端同时求微分，有2ln2()xyydxxdydxdy代入0x，1y得0ln2xdxdxdy故0(ln21)xdydx．●●常考题型及其解法与技巧一、导数与微分概念的理解[例2.1.1]选择题⑴设()fx在0x的一个邻域内有定义，且(0)0f，则()fx在0x可导等价于62（A）1()lim1nfnn存在（B）0()limxfxx存在（C）11()()lim1nffnnn存在（D）0()()limxfnxfnxx存在⑵设函数()fx在0x处连续，下列命题错误的是（A）若0()limxfxx存在，则(0)0f（B）若0()()limxfxfxx存在，则(0)0f（C）若0()limxfxx存在，则(0)0f（D）若0()()limxfxfxx存在，则(0)0f解：⑴（A）是()fx在0x处右导数存在的充要条件，（C）、（D）仅是()fx在0x处导数存在的必要条件．对于（B），由于00()(0)(0)limlim(0)xxfxfxffxx，所以（B）是()fx在0x可导的充要条件，故应选（B）．⑵如0()limxfxx存在，而分母极限为零，所以分子极限为零，又()fx在0x处连续，故0(0)lim()0xffx，进而(0)f存在，从而选项（A）、（C）正确；若0()()limxfxfxx存在，而分母极限为零，所以分子极限为零，又()fx在0x处连续，故00lim[()()]2(0)xfxfxf，即选项（B）正确；由排除法可得应选选项（D）．[例2.1.2]设()fx在0x处存在左、右导数，则()fx在0x点（A）可导（B）连续（C）不可导（D）不一定连续解：()fx在0x点左、右导数存在并相等时，()fx在0x点可导；如左、右导数存在并不相等时，()fx在0x点不可导，题设中只有()fx在0x点左、右导数存在，并没有指明它们是否相等，因此（A）、（C）不正确；由左、右导数的定义及题设0000()()()limxfxxfxfxx和0000()()()limxfxxfxfxx都存在，因此000lim[()()]0xfxxfx和000lim[()()]0xfxxfx所以函数()fx在0x点连续．故应选（B）．[例2.1.3]函数()fx在可导点x处有增量0.2x，对应的函数值增量的线性主部等于630.8，则()______fx．（A）0.4（B）0.16（C）4（D）1.6解：因为()fx在x处可导，从而在x处可微，此时函数值增量的线性主部为()fxx，因此可得()0.20.8fx，所以()fx4，故应选（C）．二、利用定义求导数Ⅰ求分段函数在分段点的导数求分段函数在分段点的导数时必须用导数的定义，特别若在分段点的左、右两侧函数表达式不一样一定