教案--第一章行列式

物流学院2015—2016学年度第1学期线性代数课堂教学方案授课年级2014专业层次会计学本科授课班级1、2、3、4班授课教师2015年8月28日《线性代数》教案任课教师授课班级2014级会计学本科班授课时间教学时间安排2学时授课题目（章节）第一章行列式第一节二阶与三阶行列式教学目的、要求（教学目标）⑴了解行列式的概念⑵掌握二阶、三阶行列式的计算方法教学重点与难点二阶、三阶行列式的计算教学方式、方法与手段讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程问题导入：历史上，行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的.如今，它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是一种常用的计算工具.特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具.二阶行列式与三阶行列式的内容在中学课程中已经涉及到,本节主要对这些知识进行复习与总结,它们是我们学习和讨论更高阶行列式计算的基础.内容要点一、二阶行列式2112221122211211aaaaaaaa二、二阶线性方程组)2()1(22221211212111bxaxabxaxa三、三阶行列式本学期要求叙述5分钟课程介绍20分钟理论讲解35分钟，习题选讲25分钟，练习、答疑5分钟提问：行列式是什么？是否具有几何意义？333231232221131211aaaaaaaaa=112233122331132132132231112332122133.aaaaaaaaaaaaaaaaaa三阶行列式有6项，每一项均为不同行不同列的三个元素之积再冠于正负号，其运算的规律性可用“对角线法则”或“沙路法则”来表述之。四、三元线性方程组类似于二元线性方程组的讨论，对三元线性方程组333323213123232221211313212111,bxaxaxabxaxaxabxaxaxa记D=,333231232221131211aaaaaaaaa1D=,333232322213121aabaabaab2D=,333312322113111abaabaaba3D=,332312222111211baabaabaa若系数行列式D0，则该方程组有唯一解：.,,332211DDxDDxDDx例题选讲例1解方程组.328322121xxxx例2计算三阶行列式601504321注：沙路法则是对角线发则的变形，仅适用于二阶、三阶行列式例3求解方程.094321112xxD例4解三元线性方程组.013222321321321xxxxxxxxx作业与课外训练1.设,1040101aaD试给出0D的充分必要条件.2.求一个二次多项式)(xf，使.28)3(,3)2(,0)1(fffP52⑵⑶3课外阅读资料或自主学习体系安排1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，19952.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，20093.，麻省理工公开课：线性代数课后小结这节课我们回顾中学数学中二元一次方程组、三元一次方程组的解法（尤其是行列式解法。引入二阶行列式、三阶行列式的概念。重点介绍行、列、元素、元素的代数表示法ija、行标、列标。《线性代数》教案任课教师授课班级2014级会计学本科班授课时间教学时间安排2学时授课题目（章节）第二节n阶行列式教学目的、要求（教学目标）⑴了解排列、逆序数、对换的概念及相关结论⑵掌握n阶行列式的定义及计算方法教学重点与难点n阶行列式的定义及计算方法，n阶行列式一般项符号的确定教学方式、方法与手段讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程问题导入：对角线算法能用于4阶以上的行列式吗？对于4阶及4阶以上行列式代表的代数和的形式又是如何呢？从三阶行列式的定义,我们看到:(1)三阶行列式共有3!＝6项；(2)行列式中的每一项都是取自不同行不同列的三个元素的乘积；(3)行列式中的每一项的符号均与该项元素下标的排列顺序有关.受此启示,我们可以引入n阶行列式的定义.此外,在本节中,我们还要了解几个今后常用的特殊的n阶行列式(对角行列与三角形行列式等)的计算方法.内容要点一、排列与逆序定义1由自然数1,2,…,n组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n级排列(简称为排列)。例如，1234和4312都是4级排列，而24315是一个5级排列.定义2在一个n级排列)(21nstiiiii中，若数理论讲解55分钟，习题选讲30分钟，练习、答疑5分钟,stii则称数ti与si构成一个逆序.一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数,记为).(21niiiN定义3逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列.逆序数的计算方法：先计算出排列中每个元素逆序的个数，即计算出排列中每个元素前面比它大的元素个数，该排列中所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.二、n阶行列式的定义定义4由2n个元素),,2,1,(njiaij组成的记号nnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为n阶行列式,其中横排称为行,竖排称为列,它表示所有取自不同行、不同列的n个元素乘积nnjjjaaa2121的代数和,各项的符号是:当该项各元素的行标按自然顺序排列后,若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号;是奇排列则取负号.nnnjjjnjjjjjjNnnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)(212222111211)1(其中njjj21表示对所有n级排列njjj21求和.行列式有时也简记为det)(ija或||ija，这里数ija称为行列式的元素，称nnnjjjjjjNaaa212121)()1(为行列式的一般项.注:提问：n阶行列式代数和的构成是怎样的？(1)行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次线性方程组的需要而定义的；(2)n阶行列式是!n项的代数和,且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的符号)各占一半;(3)nnjjjaaa2121的符号为)(21)1(njjjN(不算元素本身所带的符号);(4)一阶行列式,||aa不要与绝对值记号相混淆.三、对换为进一步研究n阶行列式的性质，先要讨论对换的概念及其与排列奇偶性的关系。定义5在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续称为对换。将两个相邻元素对换，称为相邻对换。定理1任意一个排列经过一个对换后，其奇偶性改变。推论奇排列变成自然顺序排列的对换次数为奇数,偶排列变成自然顺序排列的对换次数为偶数.定理2n个自然数(n1)共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半.（结论推导）定理3n阶行列式也定义为nnjijijisaaaD2211)1(其中S为行标与列标排列的逆序数之和.即S=)()(2121nnjjjNiiiN。推论n阶行列式也可定义为.)1(21)(2121niiiiiiNnnaaaD例题选讲排列与逆序例1计算排列32514的逆序数.例2求排列321)1)(1(nnn的逆序数,并讨论其奇偶性.n阶行列式的定义例3计算行列式0004003002001000D例4计算上三角形行列式).0(000221122211211nnnnnnaaaaaaaaa同理，下三角形行列式nnnnaaaaaa21222111000.2211nnaaa行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线.例5在六阶行列式中,下列两项各应带什么符号(1);651456423123aaaaaa(2).256651144332aaaaaa例6用行列式的定义计算.0000000010020001000nnDn提问：在什么情况下使用定义计算行列式？作业与课外训练1.若5213425)1452()432()1(kjijNkiNaaaaa是五阶行列式的一项，则kji,,应为何值？此时该项的符号是什么？2.用行列式的定义计算下列行列式:.11000010010110103.已知,1211123111211)(xxxxxf求3x的系数.P103⑶4⑶课外阅读资料或自主学习体系安排1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，19952.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，20093.，麻省理工公开课：线性代数课后小结从三阶行列式的定义,我们看到:(1)三阶行列式共有3!＝6项；(2)行列式中的每一项都是取自不同行不同列的三个元素的乘积；(3)行列式中的每一项的符号均与该项元素下标的排列顺序有关.受此启示，本节我们引入了n阶行列式的定义.此外，我们还介绍了几个今后常用的特殊的n阶行列式(对角行列与三角形行列式等)的计算方法。《线性代数》教案任课教师授课班级2014级会计学本科班授课时间教学时间安排4学时授课题目（章节）第三节行列式的性质教学目的、要求（教学目标）⑴熟练掌握行列式的性质⑵掌握化为上、下三角形行列式的步骤教学重点与难点利用行列式性质化行列式上、下三角教学方式、方法与手段讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程问题导入：根据n阶行列式定义可知，对角线算法不能用于4阶以上的行列式得计算，从上节课的学习可知，当行列式中只含有极少量非零元素时，可以利用定义的方法进行计算，然而对于一般高阶行列式又该计算学习呢？行列式的奥妙在于对行列式的行或列进行了某些变换(如行与列互换、交换两行(列)位置、某行(列)乘以某个数、某行(列)乘以某数后加到另一行(列)等)后,行列式虽然会发生相应的变化,但变换前后两个行列式的值却仍保持着线性关系,这意味着,我们可以利用这些关系大大简化高阶行列式的计算.本节我们首先要讨论行列式的在这方面的重要性质,然后,利用进一步讨论如何利用这些性质计算高阶行列式的值.内容要点一、行列式的性质将行列式D的行与列互换后得到的行列式,称为D的转置行列式,记为TD或'D,即若理论讲解55分钟，习题选讲100分钟，练习、答疑25分钟,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD则nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111.性质1行列式与它的转置行列式相等,即.TDD注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2交换行列式的两行(列),行列式变号.推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零.性质3用数k乘行列式的某一行(列),等于用数k乘此行列式,即.2121112112121112111kDaaaaaaaaakaaakakakaaaaDnnnniniinnnnniniin第i行(列)乘以k,记为ki(或kCi).推论1行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论2行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.性质4若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如,nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaD21221111211.则提问：什么是转置行列式？与原行列式有什么关系？这说明行列式的什么性质？提问：交换行列式的任意两行（列），行列式有什么变化？21212111211212111211DDaaacccaaaaaabbbaaaDnnnniniinnnnniniin.性质5将行列式的某一行(列)的所有元