导函数的性态及应用研究

编号潍坊学院本科毕业论文课题名称:导函数的性态及应用研究学生姓名:学号:10051140101专业:数学与应用数学班级:2010级1班指导教师:2014年5月导函数的性态及应用研究摘要：导数是微积分学习的基础知识,导函数是一个特殊的函数,它的广泛应用为我们研究数学问题提供了关键的工具,在研究数学其他领域中起着桥梁与纽带的作用.利用导数可以研究函数中的单调性问题,不等式问题,最值问题等,还可以与日常生活相联系,运用到生活中去.同时导函数自身还有两个性质,分别是导函数不存在第一类间断点及导函数的介值性定理.本文首先介绍了一些基础知识,为导函数性态及应用的研究作下铺垫.然后介绍了导函数在判断函数单调性、证明不等式、判断曲线凹凸性以及在经济上的应用,同时还介绍了导函数不存在第一类间断点与介值性这两条性质的应用.关键词：导函数第一类间断点介值性定理单调性凹凸性StudyonthePropertiesofDerivativeFunctionanditsApplicationsAbstract:Thederivativeisthebasicknowledgeofstudyingcalculus.Thederivativefunctionisaspecialfunction,whosewideapplicationprovidesakeytoolforustostudythemathematicalproblems.Anditactsasabridgeandalinkinotherareasofmathematicsresearch.Wecanstudythefunction’smonotonicity,inequality,themostvalue,etc.usingthederivative.Furthermore,wecancontactthedailylifeandapplyittothelife.Meanwhile,thederivativefunctionhastwopropertiesitself.Thefirstisthatthederivativefunctiondoesn’thavethediscontinuitypointofthefirstkind;theotheristheintermediatevaluetheoremofthederivativefunction.Thisthesiswillfirstlyintroducesomebasicknowledge,pavingthewayforthestudyofthederivativefunction’spropertiesandapplication.Thenitwillintroducethederivativefunction’sapplicationonjudgingthefunction’smonotonicity,provingtheinequality,judgingthecurve’sconvexityandconcavityandthederivativefunction’sapplicationineconomy.Atthesametime,itwillintroducetheapplicationofthetwopropertiesthatthederivativefunctiondoesn’thavethediscontinuitypointofthefirstkindanditsintermediatevaluetheorem.Keywords:derivativefunction;discontinuitypointofthefirstkind;intermediatevaluetheorem;monotonicity;convexityandconcavity目录1.引言..............................................................12.预备知识..........................................................12.1基本定义.....................................................12.2基本性质.....................................................22.3基本定理.....................................................23.导函数及其性质应用................................................33.1导函数在判断单调性的应用.....................................33.2导函数在判断曲线凹凸性的应用.................................53.3导函数在证明不等式中的应用...................................63.4导函数不存在第一类间断点的性质应用...........................73.5导函数介值性定理的应用.......................................83.5.1介值性定理在判断方程根的存在性上的应用.................83.5.2介值性定理在解不等式方面的应用.........................93.5.3介值性定理在实际问题中的应用..........................103.6导函数在经济方面的应用......................................12结束语.............................................................14参考文献...........................................................15致谢...............................................................16潍坊学院本科毕业论文11.引言导函数是一种特殊的函数,它的广泛应用为我们研究数学问题提供了有力的工具,在研究数学其他领域中起着桥梁的作用.数学知识是紧密联系的,导函数的直接与单独应用是很少的,但是它作为一个基础的工具,在很多方面都展现了自己的才能.本文将对导函数的应用及其性质应用进行讨论,利用导函数可以判断函数的单调性,曲线的凹凸性,解决最值问题,还可以借助中值定理证明不等式与等式.关于导函数的性质,我国现行的大部分数学分析教材都涉及很少或者有的直接没有提到,在国外,前苏联格.菲赫哥尔茨写的两本《数学分析原理》曾被前苏联及我国的一些著名大学长期作为教科书使用,但仅论述了导函数的极限定理.美国鲁丁所著的第五章微积分中论述了导函数的介值性定理并据此推出了导函数不存在第一类间断点.后来华东师范大学出版的《数学分析》第二版补充了导函数性质的几个定理.导函数的性质是微积分学习的重要基础知识,在数学分析教材中起着承前启后的作用.深入探究导函数的性质,不仅可以进一步的掌握导函数自身的本质属性,也有助于加深对数学分析中的一些基本知识点的理解与应用.在本文中,首先介绍了与导函数有关的一些基础知识.然后重点介绍了导函数判断函数的单调性,曲线的凹凸性,证明不等式的应用,还介绍了导函数不存在第一类间断点的应用和导函数介值定理的应用.2.预备知识2.1基本定义本节给出文中用到的几个基本定义.定义2.1[1]设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义,若极限limx→x0f(x)−f(x0)x−x0存在,则称函数f在点x0处可导,并称该极限为函数f在点x0处的导数,记作f′(x0).定义2.2[1]设函数y=f(x)在点x0的某右邻域[x0,x0+δ)上有定义,若右极限lim∆x→0+∆y∆x=lim∆x→0+f(x0+∆x)−f(x0)∆x(0∆xδ)存在,则称该极限为f在点x0的右导数,记作f+′(x0).类似地,我们可定义左导数f−′(x0)=lim∆x→0−f(x0+∆x)−f(x0)∆x.右导数和左导数统称为单侧导数.定义2.3[1]若函数在区间I上每一点都可导（对区间端点,仅考虑相应的单侧导数）,则称f为I上的可导函数.此时对每一个x∈I,都有f的一个导数f′(x)(或单侧导数)与之对应.这样就定义了一个在I上的函数,称为f在I上的导函数,也简称为导数.潍坊学院本科毕业论文2记作f′,y′或dydx,即f′(x0)=lim∆x→0f(x+∆x)−f(x)∆x,x∈I.定义2.4[1]设函数f在某U.(x0)内有定义.若f在点x0无定义,或f在点x0有定义而不连续,则称点x0为函数f的间断点或不连续点.（1）若limx→x0f(x)=A,而f在点x0处无定义,或有定义但f(x0)≠A,则称x0为f的可去间断点.（2）若函数f在点x0的左、右极限都存在,但limx→x0+f(x)≠limx→x0−f(x),则称点x0是函数f的跳跃间断点.（3）跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点.第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在.（4）函数的所有其他形式的间断点,即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点,称为第二类间断点.定义2.5[1]若函数f(x)与F（x）在区间I上都有定义,且F′(x)=f(x),∀x∈I,则称F（x）为f(x)在区间I上的一个原函数.2.2基本性质本节将给出后面的叙述和推导中用到的导数的几条基本性质.性质2.1[2]如果函数y=f(x)是周期函数且可导,则它的导函数y=f′(x)也是周期函数.性质2.2[2]如果函数y=f(x)是偶函数且可导,则它的导函数y=f′(x)是奇函数.性质2.3[2]如果函数y=f(x)可导且它的图像关于直线x=a对称,则它的导函数y=f′(x)的图像关于点(a,f′(a))对称.2.3基本定理本节将介绍在后面的证明中用到的几个基本定理.定理2.1[1]（介值性定理）设函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b).若u为介于f(a)与f(b)之间的任何实数(f(a)uf(b)或f(a)uf(b)),则至少存在一点x0∈(a,b),使得f(x0)=u.定理2.2[1]（根的存在定理）若函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号潍坊学院本科毕业论文3（即f(a)f(b)0）,则至少存在一点x0∈(a,b),使得f(x0)=0,即方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根.定理2.3[1]（达布定理）若函数f在[a,b]上可导,且f+′(a)≠f−′(b),k为介于f+′(a),f−′(b)之间任一实数,则至少存在一点ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=k.有时称上述定理为导函数的介值定理.定理2.4[1]（导数极限定理）设函数f在点x0的某邻域U(x0)内连续,在U0(x0)内可导,且极限limx→x0f′(x)存在,则f在点x0处可导,且f′(x0)=limx→x0f′(x).定理2.5[1]（罗尔中值定理）若函数f满足如下条件：(i)f在闭区间[a,b]上连续；(ii)f在开区间(a,b)内可导；(iii)f(a)=f(b),则在（a,b）内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)=0.定理2.6[1]（拉格朗日中值定理）若函数f满足如下条件：（i）f在闭区间[a,b]上连续；（ii）f在开区间(a,b)内可导,则在（a,b）内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a.定理2.7[1]（柯西中值定理）设函数f和g满足（i）在[a,b]上都连续；（ii）在(a,b)内都可导；（iii）f′(x)和g′（x）不同时为零；（iv）g(a)≠g(b),则存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)g′