8年级竞赛：梅涅劳斯定理塞瓦定理教师版.doc

张老师工作室张老师微信公众号：zhangtian027微信个人号：zhangtian9999第1讲梅涅劳斯定理塞瓦定理知识点一、梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么1AFBDCEFBDCEA．这条直线叫ABC的梅氏线，ABC叫梅氏三角形．证明如图1-1，若一直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点．求证：1AFBDCEFBDCEA图1-1FECDBA图1-2GFECDBA图1-3GFECDBA证法一：如图1-2，过C作CG∥DF∵DBFBDCFG，ECFGAEAF∴1AFBDCEAFFBFGFBDCEAFBFGAF证法二：如图1-3，过A作//AGBD交DF的延长线于G∴AFAGFBBD，BDBDDCDC，CEDCEAAG三式相乘即得：1AFBDCEAGBDDCFBDCEABDDCAG．梅涅劳斯定理的逆定理若F、D、E分别是ABC的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果1AFBDCEFBDCEA，则F、D、E三点共线．知识点二、塞瓦定理塞瓦定理如果ABC的三个顶点与一点P的连线AP、BP、CP交对边或其延长线于D、E、F，如图1-4，那么1BDCEAFDCEAFB．通常称点P为ABC的塞瓦点．证明P图1-4FECDBA张老师工作室张老师微信公众号：zhangtian027微信个人号：zhangtian9999F'P图1-5FECDBAABDCEF图1-6∵直线FPC、EPB分别是ABD、ACD的梅氏线，∴1BCDPAFCDPAFB，1DBCEAPBCEAPD两式相乘即可得：1BDCEAFDCEAFB塞瓦定理的逆定理如果点D、E、F分别在ABC的边BC、CA、AB上或其延长线上，并且1BDCEAFDCEAFB，那么AD、BE、CF相交于一点（或平行）．证明⑴若AD与BE相交于一点P时，如图1-5，作直线CP交AB于'F．由塞瓦定理得：F1BDCEADCEAFB，又已知1BDCEAFDCEAFB，∴AFAFFBFB，∴ABABFBFB，∴FBFB．∴'F与F重合∴'CF与CF重合∴AD、BE、CF相交于一点．⑵若AD与BE所在直线不相交，则AD∥BE，如图1-6．∴BDEADCAC，又已知1BDCEAFDCEAFB，∴1EACEAFACEAFB，即CEFBACAF．∴//BEFC，∴////ADBEFC．【例1】已知ABC中，AD为中线，过C点任作一直线交AB于F，交AD于E，如图1-7，求证：:2:AEEDAFFB.【分析】∵直线FEC是ABD的梅氏线，∴1AEDCBFEDBCFA．而12DCBC，∴112AEBFEDFA，即2AEAFEDBF．【例2】（2003年深圳市中考题）如图1-8，直线1l∥2l，:2:3AFFB，:2:1BCCD，则:AEEC是（）A．5：2B．4：1C．2：1D．3：2图1-7FECDBA张老师工作室张老师微信公众号：zhangtian027微信个人号：zhangtian9999图1-8l2l1GFEDCBA【分析】∵DG截ABC的三边AB、AC、BC或其延长线于F、E、D三点，∴1AFBDECFBCDAE．∵23AFFB，21BCCD∴31BDCD，∴23131ECAE∴12ECAE，即21AEEC【例3】如图1-9，ABC中，D为AC中点，BEEFFC，求证：::5:3:2BMMNND．【分析】∵直线AE是BCD的梅氏线，∴1BMDACEMDACEB．∴12121BMMD，∴11BMMD∵直线AF是BCD的梅氏线，∴1BNDACFNDACFB，∴11122BNND，41BNND∴::5:3:2BMMNND．【例4】如图1-10-1，ABC中，5AB，8BC，BDBE，2AFFC，BF交DE于P．求:DPPE．FPEDCBA图1-10-1OPGFEDCBA图1-10-2【分析】过A作AG∥DE交BC于G，交BF于Q，如图1-10-2．NMFECDBA图1-9张老师工作室张老师微信公众号：zhangtian027微信个人号：zhangtian9999可得：5ABBG，且DPAQPEQG∵直线BF是ACG的梅氏线，∴51182AQGBCFAQQGBCFAQG∴165DPAQPEQG．【例5】如图1-11，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若ABa，ADc，BEb，求BF的长．图1-11OFEDCBA【分析】∵OE截ABC的三边AB、AC、BC或其延长线于E、O、F三点．∴1COAEBFAOBEFC．在平行四边形ABCD中，∵OAOC，∴1OAOC∵AEABBEab，∴AEabBEb∴BFbFCab，即FCabBFb∴2FCBFabBFb，即2BCabBFb．∵BCAD，∴2cabBFb，∴2bcBFab．【例6】如图1-12，E、F分别为ABC的AC、AB边上的点，且3AEEC，3BFFA，BE、CF交于P，AP的延长线交BC于D．求:APPD的值．【分析】∵P为ABC的塞瓦点．∴11133AFBDCEBDFBDCEADC∴91BDDC，∴910BDBC．图1-12PFEDCBA张老师工作室张老师微信公众号：zhangtian027微信个人号：zhangtian9999图1-14-1PFEDCBA∵EPB为ACD的梅氏线，∴911103APDBCEAPPDBCEAPD∴103APPD．【例7】在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于E，AD、BC的延长线交于H，过E作FG∥AB交AD于F，交BC于G，求证：AG、BF、EH三线共点．【分析】设直线HE交AB于Q，由已知可得,HFHEBGEQFAEQGHHE，∴1HFBGFAGH由E为HAB的塞瓦点可得：1HDAQBCDAQBCH同理可得：1HDBCDACH，∴1AQQB，∴1HFAQBGFAQBGH∴AG、BF、EH三线共点．【例8】已知：AD、BE、CF为ABC的高。⑴求证：直线AD、BE、CF三线共点．⑵若上述一点叫P，当P点在线段AD内上下移动时，过P点的线段BE、CF也随之运动.求证：上述运动过程中FDA与EDA总相等．【分析】⑴由ABE∽ACF，得AEABAFAC，同理CDACCEBC，BFBCBDAB．三式相乘得1AECDBFECDBFH，∴AD、BE、CF三高所在直线共点．⑵如图1-14-2，过A作MN∥BC交DF、DE延长线于M、N．∴,AFAMCEDCFBBDEAAN．∵P是ABC的塞瓦点，∴1AFBDCEAMBDDCFBDCEABDDCAN∴AMAN．∵ADMN，∴DMDN∴FDA=EDA．QF图1-13HGEDCBA图1-14-2NMPFEDCBA张老师工作室张老师微信公众号：zhangtian027微信个人号：zhangtian9999作业-3-1GFEDCBA1.如图，已知：BDEC，求证：ACEFABDF．【分析】∵BCF是ADE的梅氏线，又BDEC．∴1ABDFECBDFEAC．∴ACEFABDF．2.如图，ABC中，D为BC的中点，::4:3:1AEEFFD．求::AGGHAB．【分析】∵HFC是ABD的梅氏线，∴1AHBCDFHBDCFA．∵D为BC的中点，::4:3:1AEEFFD，∴21BCDC，17DFFA∴21117AHHB，∴72AHHB∵GEC是ABD的梅氏线，∴1AGBCDEGBDCEA，∴21111AGGB，∴12AGGB．∴::3:4:2AGGHHB．∴::3:4:9AGGHAB．3.经过ABC的重心G的直线交AB、AC分别于E、F，交CB的延长线于D．求证：1BECFEAFA．【分析】作直线AG交BC于M，∵:1:2MGGA，BMMC．∴AEBDMGEBDMGA112AEBDEBDM∴2EBBDAEDM．同理，2CFDCFADM，而2BDDCBDBDBM2()2BDBMDM∴21222BECFBDDCDMEAFADMDMDM作业-2HGFEDCBAM作业-3-2GFEDCBA张老师工作室张老师微信公众号：zhangtian027微信个人号：zhangtian9999Q作业-4PNMDCBA4.如果梯形ABCD的两腰AD、BC的延长线交于M，两条对角线交于N．求证：直线MN必平分两底．【分析】∵AB∥CD∴MDCMDABC∴1MDBCDACM∵1MDAQBCDAQBCM（由塞瓦定理得）∴1AQQB，∴AQQB∵DPPCAQQB，∴DPPC．扫一扫：关注奥利奥张老师数学