机械震动--单自由度体系的自由振动

ysy(t)机械振动分析------单自由度无阻尼系统的自由振动机械振动是物体(或物体的一部分)在平衡位置（物体静止时的位置）附近作的往复运动。可分为自由振动、受迫振动。又可分为无阻尼振动与阻尼振动。常见的简谐运动有弹簧振子模型、单摆模型等。振动在机械中的应用非常普遍,例如在振动筛分行业中基本原理系借电机轴上下端所安装的重锤（不平衡重锤），将电机的旋转运动转变为水平、垂直、倾斜的三次元运动，再把这个运动传达给筛面。若改变上下部的重锤的相位角可改变原料的行进方向。物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动。其中仅需用一个独立坐标就可确定振体位置的系统为单自由度系统。单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。研究单自由度系统的振动有着非常普遍的实际意义，因为工程上有许多问题通过简化，用单自由度系统的振动理论就能得到满意的结果。而同时对多自由度系统和连续系统的振动，在特殊坐标系中考察时，显示出与单自由度系统类似的性态。因此，揭示单自由度振动系统的规律、特点，为进一步研究复杂振动系统奠定了基础。影响振动作用的因素是振动频率、加速度和振幅。现在我们就此方面展开对单自由度无阻尼振动的讨论。主要包括两部分：单自由度无阻尼系统的自由振动和单自由度无阻尼系统的受迫振动。一、单自由度无阻尼系统的自由振动如下图，设此梁上的集中质量为m，其重量为Wmg，梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用sy表示，与sy相应的质量位置称为质量的静力平衡位置。若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。1、建立运动方程建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。今考虑在振动过程的某一瞬时t，设质量在此瞬时离开其平衡位置的位移为y，取质量为隔离体，则在质量上作用有三种力：质量的重量W，杆件对质量的弹性恢复力S和惯性力F(t)。根据达朗伯原理，这三个力应成平衡，即W+S+F(t)＝0（1）在弹性体系中，弹性恢复力S为:()skyys上式中的K为一常数，称为刚度系数，代表简支梁上使质量在运动方向产生单位位移时需要加在质量上的沿质量运动方向的集中力的量值。式中负号表示s的指向和位移的方向相反。而1ysWk即ysWk因此，将()skyys和ysWk代入式（1）得()0Ftky（2）上式表明，如果以静力平衡位置作为计算位移的起点，则建立体系的运动方程时，可以不考虑重力W的影响。这对其他体系的振动（包括受迫振动）也同样适用。将22()dyFtmdt代入式（2）得：22()0dymkytdt令2kmdyydt（速度）22dyydt（加速度）则22()0dymkytdt可变为20yy（3）此为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，它反映了这种振动的一般规律。若采用柔度法建立运动方程（建立位移方程），以静力平衡位置作为计算位移的起点，则梁在质量m处除惯性力22()dyFtmdt这个假想的外荷载作用外，再无其他外力作用。所以由达朗伯原理可知，梁在集中质量m处任一运动瞬时的位移为22()()dyytFtmdt即1()0myyt（4）式中为一常数，代表简支梁上集中质量处在质量的运动方向作用单位荷载时所产生的静力位移。称为结构的柔度系数，它与刚度系数k的关系为1k则（4）式可变为20yy式中21kmm与建立质量动平衡方程所得的结果相同。2、运动方程的解式（3）为二阶常系数线性微分方程，其通解为12()cossinytctct（5）取()yt对时间的一阶导数，则该体系在任一瞬时的速度为12()()sinsytvtctccot式中的常数1c和2c可由初始条件得出。设0t时，0(0)yy0(0)vv则10cy02vc代入（5）得00()cossinvytytt（6）00()sincosytytvt（7）在以上各式中，0y及0v各称为初始位移和初速度。式（6）也可写成单项式：()sin()ytAt（8）再将其展开得：()sincoscossinytAtAt（9）比较（6）和（9）得0sinyA0cosvA2200()vAy00arctan()yv式()sin()ytAt表示一简谐振动，A代表最大的位移，称为振幅；称为初相角，最大位移的初相角均决定于质量的初位移及初速度。在简谐振动中，位移、速度和加速度等物理量均按正弦或余弦规律变化，而正弦或余弦函数是周期函数，所以它们都是周期振动，每经历一定时间，结构出现前后同一运动状态（包括位置、速度等）所需的时间间隔称为振动周期，用符号T表示。由式（8）可知，在时间由t经过2T以后，该式变为2()sin()sin()ytAtAt即在时间由t经过2T后，结构出现前后相同的运动状态，故周期T为2T，单位为秒。令1fT，f为频率。则2f，称为圆频率，也为自振频率。据2km得1skggmmWy此为单自由度体系无阻尼自由振动时自振频率的计算公式。由上式可以看出，自振频率只与反映结构固有属性的结构刚度和质量有关，而与外界引起自由振动的初始条件无关，所以也常将自振频率称为固有频率。结构在振动过程中的许多动力特性，都与反映结构固有属性的自振频率有关。如果单自由度体系上的质量m维持不变，但增加体系的刚度，则体系的自振频率将增大；相反，如果体系的刚度维持不变，而是增加体系的质量，则体系的自振频率将减小。在解决实际结构振动问题时，可以根据此规律，通过调整结构的自振频率，达到调整结构动力反应的目的。二、单自由度无阻尼系统的受迫振动在外力的持续作用下，系统产生的振动成为受迫振动。例如，在切削沿轴向开槽的工件时，车刀在每一转中都要受到沟槽的冲击；磨床的砂轮没有平衡好，飞速旋转的砂轮会给工件周期性变化的压力；有接口的皮带传动时，皮带接口周期性的传给传动轴冲压力。这些都是生活中常见的激励因素。这些因素不间断地给振动系统扰动，而不是像自由振动系统中那样只有初始扰动。这些连续变化的力所激起的振动就是受迫振动。激励力可分为三大类：简谐激励力、非简谐周期激励力和随机激励力。这里我们只看简谐激励力引起的受迫振动。1、建立运动方程：0sin0kymyFt即20sinFtyym2、运动方程的解：此方程为非齐次二阶常微分方程，它的解由齐次通解1()0yt和特解2()0yt两部分相加而成，即12()()()ytytyt齐次通解为1()sinnytAt特解为2()sinytXt，故其全解为：021()cossinsin1nnFytCtDttk，其中n。带入初始条件，t=0时，y=y0，0yy得，00021()cossinsinsin1nnnnyFytyttttk上式便是单自由度无阻尼系统的简谐受迫振动响应。它包括三部分，第一二项是初始条件引起的自由振动，频率为n，振幅取决于初始条件；第二部分是式中的第三项，对应特解是系统在外部激励的作用下产生的稳定振动，即受迫振动，，对于线性的响应系统，其响应的频率和激励的频率相同，而振幅与初始条件无关；第三部分是式中的第四项，是激励引起的自由振动，频率为n，振幅也与初始条件无关。系统的总响应是这三部分的叠加，当两个频率不相等时一般不是周期振动，只有当n时才是周期振动，此时系统也就会产生共振。