机械工程控制基础5-稳定性.

机械工程控制基础2013.11主讲人：高爱华机械类专业必修课机械与动力工程学院教学内容1、课程准备7、系统的性能指标与校正2、绪论4、系统的时间响应分析3、系统的数学模型5、系统的频率特性分析6、系统的稳定性分析教学内容第一讲稳定性概念Routh判据——系统能正常工作的首要条件1.系统不稳定现象例：液压位置随动系统原理：外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开→活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）→（惯性）活塞继续右移→阀口1、3开启→活塞左移→平衡位置→（惯性）活塞继续左移→阀口2、4开启……①随动：活塞跟随阀芯运动②惯性：引起振荡③振荡结果：①减幅振荡（收敛，稳定）②等幅振荡（临界稳定）③增幅振荡（发散，不稳定）一、系统的稳定性与稳定条件依据上述实例可得如下结论：系统稳定与否取决于系统内部条件，而与输入无关；系统发生不稳定必有适当的反馈作用；控制理论中讨论的稳定性是输入为零而初始状态不为零的稳定性。稳定性是指自由响应的收敛性系统的稳定性—稳定性概念二、稳定性的定义和条件1.稳定性定义定义：系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力。系统稳定性说明1：若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于0（即回到平衡位置），则称系统为稳定的；反之，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称系统是不稳定的。系统的稳定性—稳定性概念2.系统稳定条件)()()()()(01)1()(1txtxatxatxatxaioonnnono线性定常系统：nitsinitsitBeAeAtxiio1211)()(强迫响应输入引起的自由响应系统的初态引起的自由响应自由响应si:系统的特征根2.系统稳定条件1)当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位于[s]平面的左半平面）0lim1211nitsinitsitiieAeA自由响应收敛，系统稳定2)若有任一sk具有正实部（位于[s]平面的右半平面）nitsinitsitiieAeA1211lim自由响应发散，系统不稳定tstkelim2.系统稳定条件3)若有特征根sk=±jω（位于[s]平面的虚轴上），其余极点位于[s]平面的坐半平面tjknitsinitsiteAeAeAii1211lim自由响应等幅振动，系统临界稳定4)若有特征根sk=0（位于[s]平面的原点），其余极点位于[s]平面的坐半平面knitsinitsitAeAeAii1211lim自由响应收敛于常值，系统稳定ktskAeAk简谐运动结论：线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的特征根。线性系统的稳定性是系统的固有特性，仅与系统的结构与参数有关；非线性系统的稳定性不仅与系统的结构与参数有关，而且还与系统的输入有关。系统稳定性说明2：2.稳定性充要条件系统稳定的充要条件是系统所有特征根的实部小于0，或系统传递函数的所有极点均分布在[s]平面的左半平面内。临界稳定的系统极易因为系统的结构和参数的细微变化而变成不稳定的系统。因此，临界稳定往往也归结为不稳定的一种。系统的稳定性—稳定性概念三、关于稳定性的相关提法1.李亚普诺夫意义下的稳定性)(o若o为系统的平衡工作点，扰动使系统偏离此工作点的起始偏差（即初态）不超过域η，由扰动引起的输出（这种初态引起的零输入响应）及其终态不超过预先给定的整数ε，则系统是稳定的，反之，系统是不稳定的。系统的稳定性—稳定性概念3.“小偏差”稳定性系统初始偏差（初态）不超过某一微小范围时的稳定性，称之为“小偏差稳定性”或“局部稳定性”。4.“大范围”渐近稳定性若系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，则系统称为“大范围渐近稳定”，反之，系统是不稳定的。2.渐近稳定性就是线性系统的稳定性，要求由初始状态引起的响应最终衰减为零。渐近稳定性满足李氏稳定性定义；对非线性定义，这两种稳定性是不同的。系统的稳定性—稳定性概念控制工程中希望大范围渐近稳定，基于精度要求，也需要确定最大范围。四、Routh稳定判据1.系统稳定的必要条件设系统的特征方程为：0)(0111asasasasDnnnn两边同除an)())((210111nnnnnnnssssssaasaasaasniinnnjijijinniinsssssss122,111)1(系统的稳定性—Routh稳定判据依据上式，s的同次幂前系数应对等要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：特征方程的各项系数都不等于0；特征方程的各项系数的符号相同。按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为系统特征方程的各项系数全大于0，此即系统稳定的必要条件。系统的稳定性—Routh稳定判据niinnnkjikjikjinnnjijijinnniinnsaasssaassaasaa103,2,132,1211)1(...2.系统稳定的充要条件对系统的特征方程：0)(0111asasasasDnnnn其各阶系数按下列形式排成Routh表：ns1ns2ns3ns2s1s0sna2na4na6na1na3na5na7na1A2A3A4A1B2B3B4B1D2D1E1F13211nnnnnaaaaaA15412nnnnnaaaaaA17613nnnnnaaaaaA121311AAaaABnn131512AAaaABnn141713AAaaABnn元素计算方法：系统的稳定性—Routh稳定判据Routh判据：Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。因此系统稳定的充要条件可表述为：Routh表中第一列各元的符号均为正。实例分析1系统特征方程0301119)(234sssssD试用Routh表判断其稳定性。4s3s2s1s0s1193011103030012030301111)19(1123030111)30(改变符号一次改变符号一次解：由Routh判据：系统不稳定。系统的稳定性—Routh稳定判据3.系统稳定的特殊情况（1）如果在Routh表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的元素时，将趋向于无穷大。于是Routh表计算无法继续，为了克服这一困难，用一个很小的正数ε代替第一列的0，然后计算Routh表的其余各元。若ε上下各元符号不变，且第一列元素符号均为正，则系统特征根中有共轭的虚根。此时，系统为临界稳定系统。（2）如果Routh表中任意一行的所有元素都为0，Routh表的计算无法继续。此时，可以利用该行的上一行的元素构成一个辅助多项式，并用多项式的导数的系数组成Routh表的下一行。这样，Routh表就可以计算下去。出现这种情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应维持某一频率的等幅振荡，系统临界稳定），或是以上几种根的组合。系统的稳定性—Routh稳定判据实例分析2系统特征方程：04244)(2345ssssssD试用Routh表判断其稳定性。解：列Routh表如下：4s3s2s1s0s142144202442448425s0004改变符号一次改变符号一次由Routh判据：系统不稳定。系统的稳定性—Routh稳定判据实例分析3系统特征方程：0502548242)(2345ssssssD试用Routh表判断其稳定性。解：列Routh表如下：8964s3s2s1s0s124252485000024507.1125s00500Routh表中出现0元行，构造辅助多项式如下：050482)(24sssF取F(s)对s的导数得新方程：0968)(3sssF用上式中的系数8和96代替0元行，继续进行运算。改变符号一次系统的稳定性—Routh稳定判据此表第一列各元符号改变次数为1，因此断定该系统包含一个具有正实部的特征根，系统是不稳定的。根据Routh判据，2p的辅助多项式应该存在p对实部符号相异、虚部数值相同的共轭复根。这些特征根可以通过解辅助多项式得到。本例中辅助多项式为：050482)(24sssF解此辅助多项式可得：5;1jss这两对复根是原特征方程的根的一部分。系统的稳定性—Routh稳定判据二阶系统(n=2)稳定的充要条件为：a20,a10,a00,三阶系统(n=3)稳定的充要条件为：a30,a20,a00,a1a2－a0a30特别：五、相对稳定性的检验应用Routh判据可检验稳定系统的相对稳定性方法如下：将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s＝z－σ（σ为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程；利用Routh表和Routh判据对新的特征方程进行稳定性判别。如果新系统稳定，则说明原系统特征方程的根均在新的虚轴之左边，σ越大，系统相对稳定性越好。系统的稳定性—Routh稳定判据系统传递函数方框图如下图所示，已知T1＝0.1s，T2＝0.25s，试求:实例分析4)(sXi)(sXo)1)(1(21sTsTsK解：（1）求系统稳定时K值的取值范围（1）系统稳定时K值的取值范围；（2）若要求系统的特征根均位于s＝－1线的左侧，K值的取值范围。KssTTsTTKsHsGsGsGB221321)()()(1)()(系统的稳定性—Routh稳定判据0)()(221321KssTTsTTsD040401423Ksss因为：将T1和T2代入得：列Routh表如下：0400404014KK140K3s2s1s0s14014K4014404014K0K40解之得系统稳定时K的取值范围为：由Routh表和Routh判据得：系统的稳定性—Routh稳定判据（2）令s＝z－1，代入特征方程得：040)1(40)1(14)1(23Kzszz02740151123Kzzz即：列Routh表如下：02740040192KK8.4675.0K3s2s1s0s115112740K1127401511K02740K解之得：由Routh表和Routh判据得：与(1)的结果比较可知，K的取值范围变小了。系统的稳定性—Routh稳定判据系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力；六、本讲小结系统稳定的充要条件是所有特征根具有负实部，或系统传递函数的所有极点均分布在[s]平面的左半平面;作业：教材：5.1~5.4,5.7Routh稳定判据是Routh表的第一列元素均大于0。利用Routh稳定判据不仅可判定系统的稳定性，而且可以确定某些参数的取值范围和相对稳定性。系统的稳定性—Routh稳定判据系统的稳定性—Nyquist稳定判据第二讲Nyquist稳定判据一、Nyquist稳定判据判据提出：该稳定性判据由H.Nyquist于1932年提出，在1940年以后得到广泛应用。判据原理：将闭环系统的特征方程1+G(s)H(s)=0与开环频率特性GK(jω)联系起来，从而将系统特性从复域引入频域来分析。判断方法：通过GK(jω)的Nyquist图，利用图解法来判明闭环系统的稳定性。Nyquist稳定判据的数学基础是复变函数中的幅角原理