浅析数学理念和方法在生物教学中的渗透

1浅析数学理念和方法在生物教学中的渗透江苏省兴化市安丰高级中学陈洪根225766摘要数学思想可解决生物学中的隐蔽抽象的问题，数学方法可解决生物学中错综复杂的数量关系，这些都是新版《生物课程标准》和高考能力的必然要求。关键词理念方法生物学教学渗透细胞或生物体的代谢、生长、繁殖等生命活动的规律隐蔽抽象，蛋白质中氨基酸的排列方式、遗传学中的各种概率等数量关系错综复杂，这些都给生物学的教与学带来了一定的难度。数学作为甄别学生智力和能力的重要工具性的应用科学，曾被人们视为“思维训练的体操”。在生物教学中，培养“使用数学”的意识，既可顺应新一轮课程改革的步伐（新颁布的普通高中《生物课程标准》首次提出了“利用数学方法处理、解释数据”的能力目标），同时也是高考能力的必然要求。教学实践表明，引进数学理念，对相关问题进行定量分析，远比空洞的定性描述更富说服力和感染力；运用数学方法，则可化抽象为具体，变模糊为清晰，使复杂成简单。1数学思想的应用1．1理论教学中进行定量分析生物学理论知识的教学中应用数学计算进行定量分析，可使晦涩含蓄的问题变得生动鲜明。现以“表面积与体积的比”这一背景素材为例，作一粗浅的探索。1．1．1解释微生物的代谢特点微生物的代谢异常旺盛。对此，不少同学感到似有说教之嫌。在教学中，我以球体为例，让同学分别回忆出其表面积与体积的计算公式后再进行计算：S表＝4πR2，V体＝34πR3，S表/V体＝4πR2/34πR3=R3显然，半径越小，比值越大。由于微生物形体微小（细菌细胞的直径仅1∽2μm，一般动植物细胞的直径为20∽30μm），如将其看作球体，该比值会相当大，单位体积内含物分摊到的表面积增大，细胞的代谢速率必然大增。1．1．2解释细胞的分裂随着细胞的长大，细胞体积增大，内含物也随之增多，用于物质交换的表面积便显得不够用。假设细胞是一个半径为1μm的球体，依上述公式可计算出其表面积为12.5μm2,体积为4.1μm3，表面积与体积的比值为3:1，若细胞长大至为原半径的4倍的球体，则表面积与体积的比值为0.7:1，显然单位体积细胞内含物所分摊到的表面积不足以满足物质的进出，成为细胞代谢的限制因素。解决的办法是细胞一分为二，即细胞进行分裂。仍以上例说明，一个体积为268μm3的球体，一分为二，则得到两个体积为134μm3的球体，每个球体的表面积为401μm2，表面积与体积之比骤增至3:1，细胞的代谢速率必将大增。11．1．3解释动物体型和生活环境的关系。1陈洪根男，1965年出生，大学本科，中学生物高级教师。2同类的哺乳动物，在寒冷地带生活的个体比热带的个体大。原来，寒冷地带的动物，相对体积大，表面积小，因而表面积与体积的比值小，有利于减少热量散失和保持体温的恒定。相反，在热带生活的动物，表面积与体积的比值大，有利于散热和保持体温的恒定。可见，动物体型和生活环境这种抽象隐含的关系通过鲜明的数学计算，其原理昭然若揭。1．2集合思想的应用生物学中的一些概念内涵相似，外延交叉；有些计算中数量关系含蓄，巧用集合图形，可以直观而简洁地解决这些问题。例1．生态学概念的比较：生物圈、生态系统、群落、种群。例2．在一次对ABO血型的调查中，共检验了6000名居民的血液，其中，2527人为A型血，2234人有抗原B，1846人无抗原，问AB血型的人有多少？解析：ABO血型是由红细胞表面的抗原决定的，AB血型即指A、B二种抗原都有的人。据题意可画出如下的集合图解：集合A有2527人，集合B有2234人，阴影部分为补集1846人，交集AB即为AB血型的人，据图可以很明了地求出：2527＋2234＋1846－6000＝607（人）。例1例21.3极限思想的应用在杂交育种中，为了获得能稳定遗传的类型，常常要让带有隐性基因的杂合个体不断自交，经过多次的选择、淘汰，直到后代不再出现性状分离为止，对此，可用极限思想解决。例．现有一杂种F1，要利用它得到纯合品种，请分析纯合体的个数ｙ与自交代数ｎ的数量变化关系。解析：含有一对等位基因的杂合个体连续自交ｎ次，后代中纯合子的比例ｙ＝1－n21（后文将专门提及）。当ｎ→∞时，ｙ→1，随着自交代数ｎ数目的增加，ｙ的值将越来越大，当自交代数趋于无穷大时，后代基本上都为纯合体。这也证明了杂交育种耗时长的不足，要缩短育种年限，可用单倍体育种等方法。1.4反证法思想的应用生物教学中，有些问题直接从正面考虑很难解决，这时如改变思维方向，从结论入手，或从结论的反面入手反而有利于问题的解决。例．父母正常，女儿患病，问这种病属什么遗传方式？解析：父母正常，女儿患病，致病基因必为隐性，且不可能在Y染色体上。究竟是常染色体遗传还是X染色体遗传呢？假设是X染色体遗传，则女儿的基因型必为XｂXｂ，这样，父亲的基因型就为XｂY，与题意不符，所以该假设不能成立，因而该病是常染色体隐性遗传病。2数学方法的应用2.1函数关系的运用生物圈群落生态系统种群ABAB3生物学中许多数量关系相互关联，互为因果，如将它们联系在一起，充分利用它们的制约关系，可解决不少常规方法不能解决的问题。例．已知氨基酸的平均分子量为128，测得某蛋白质的分子量为5646，试判断形成该蛋白质的氨基酸数和肽链数。解析：蛋白质的分子量确定后，氨基酸的数量与肽链的数量存在着必然的函数关系，如设氨基酸的数量与肽链的条数分别为ｘ和ｙ，则有128ｘ−18（ｘ−ｙ）＝5646尽管1个方程包含2个未知数，但ｘ和ｙ必须都为自然数且1≤ｙ＜ｘ，这样可解得：x=51，y=2。2.2基本定律的运用：常见的有遗传学上的哈代－温伯格定律、乘法定律和加法定律、生态学上能量流动的十分之一定律等。哈代－温伯格定律的主要内容是：设显性基因M的概率为A，隐性基因ｍ的概率为B，由于A+B＝1，则(A+B)2=1，展开得A2+2AB+B2=1，其中A2是基因型MM的频率，B2是基因型mm的频率，2AB是基因型Mm的频率。例1．一个种群中，基因型为AA的个体占1/3，基因型为Aa的个体占2/3。计算子代中各基因型的比例。解析：亲代基因频率可根据下列公式计算出：某基因频率=该基因纯合体基因型频率+1/2杂合体基因型频率根据哈代-温伯格平衡定律，子代基因型频率为：AA=P(A)2=(2/3)2=4/9Aa=2×P(A)×P(a)=2×2/3×1/3=4/9Aa=P(a)2=(1/3)2=1/9例2．有一食物网如图所示，设E种群干物质量为5.8×109kJ，B种群干物质量为1.3×108kJ，则A种群干物质量的值至少是多少？解析：E种群的干物质的最终去向有B和A，所以当B种群干物质量已确定，要使A种群所得干物质的量最少，只有在E种群以最低的传递效率（十分之一定律）传给B（这时E种群剩余干物质最少），E剩余部分再以最低的传递效率传给A时才可能发生。B种群干物质量为1.3×108kJ,从理论上讲，至多消耗A种群干物质为1.3×108kJ×10%＝1.3×109kJ，由于A与E相隔两个营养级，因而A种群干物质量的值至少为：（5.8－1.3）×109kJ×10%×10%＝4.5×107Kj。2.3坐标曲线的运用坐标曲线能很好地体现数形结合的思想，将复杂或抽象的数量关系与直观形象的图形相互渗透，是能力考查的常见题型，几乎每年都在生物高考中出现。例1．如左图表示的对象是高等动物，问哪条曲线是正确的？BEDCA4解析：解决坐标曲线类问题要注意三点：一要明标，即横、纵坐标表示的含义；二要识点，特别是一些关键点，如曲线的起点、转折点、终点；三析势，即曲线的变化趋势及其含义。由于高等动物可以进行无氧呼吸产生ATP，所以曲线不可能从原点出发；比较图中的A、B二点，它们对应的纵坐标不同是由于O2浓度不同造成的，所以A点的限制因素是O2浓度，从而可判断曲线的变化趋势是随着横坐标的增加，纵坐标也随之增加，但由于细胞中酶和ADP等的数量有限，因而当O2增加到某一阶段，ATP的产生量不再增加，曲线必然维持在一个平台期，所以曲线的变化趋势还要看具体范围。图中C点的限制因素是酶和ADP的数量，ｂ曲线正确。例2．下图纵轴表示青霉菌的菌株数，横轴表示青霉菌产生的青霉素产量，曲线a表示使用诱变剂前菌株数与产量之间的变化，曲线b、c、d表示使用不同剂量的诱变剂后菌株数与产量之间的变化。请据图回答：⑴曲线ａ和ｂ比较说明了什么问题？⑵b、c、d三曲线的比较说明了什么问题？⑶比较三条曲线的变化，最符合人们需要的是哪条曲线？解析：本题考查了基因突变的知识，知识的难度不高，但呈现的方式特殊，关键是抓住横、纵坐标的变化。仔细观察，当a、b横坐标相同时，纵坐标并不相同，含义是有相同的产量，但需要的菌株数不相同，并且ｂ曲线的还较小，证明基因突变可以改良品种，而当b、c、d三曲线的纵坐标相同时，它们的横坐标却不一样，含义是菌株数相同，产生却不一样，说明基因突变是不定向的，而当纵坐标（菌株数）相同时，d曲线横坐标最大，表示菌株产量最高，最符合人们的需要。坐标曲线类试题题型多，涉及面广，应给予足够的重视和研究。2.4排列组合和二项式定理的运用在计算概率或种类数目时，往往涉及到比较复杂的情况，如果进行穷举，则费时费力，而且可能漏算，此时采用数学中的排列组合知识来进行解题，会有事半功倍之效。例1．有四种氨基酸，假设每种氨基酸只有一个，最多能合成得到多少种不同结构排列的三肽？假设每种氨基酸数量充足，又最多能合成多少种不同结构的三肽？解析：多肽的不同取决于构成多肽的氨基酸的种类、数量、排列次序。三肽由三个氨基酸形成，如每种氨基酸只有一个，可构成三肽种类为C34＝24种，如每种氨基酸数量不限，则三肽中的三个位置上，每个位置上出现的氨基酸的可能种类都为C14种，则三肽的种类为5C14C14C14＝43种。例2．一个二倍体的种群中，已知一条常染色体的某一基因位点上有6种不同的复等位基因，那么在这个群体中，可能存在的基因型的总数有多少？其形成的三倍体有多少种可能的基因型？解析：本题首先要明确，二倍体的体细胞中基因必须是成对存在，基因型有二种情况：纯合子和杂合子。如有ｎ对复等位基因，由于纯合子每对基因必须相同，因而有C1n种，杂合子每对基因必须杂合，因而有C2n种，这样，可能存在的基因型总数为C16＋C26＝21种。如形成三倍体，则可组成的基因型为C16＋2C26＋C36＝56种。例2．六对夫妇同时在医院生小孩，问他们生出三男三女的几率有多大？解析：每对夫妇都有二种可能性：生男孩或女孩，且生男生女的几率都为1/2，则可在六对夫妇中任选三对，即C36，再乘以其相应的生男生女的几率即可：C36×（1/2）3×（1/2）3＝5/16。2.5基本关系式、比例式的运用。这类表达式很多，主要体现在蛋白质的形成和遗传学计算中，如：蛋白质形成过程中：ｎ个氨基酸脱水缩合形成ｍ条多肽链，则肽键数＝(ｎ−ｍ)个；脱水数＝肽键数＝氨基酸数−肽链数；基因中碱基数∶ｍRNA中碱基数∶氨基酸数至少为6∶3∶1两对相对性状的遗传实验中，F2中四种表现型之比为9∶3∶3∶1；DNA分子复制时，一个用N14标记的DNA分子放到含N15的培养基中复制ｎ次，则子代中DNA分子总数为2ｎ个，含N15的DNA分子有2ｎ个，含N15的链有2ｎ＋1－2条一个含有一对等位基因的杂合个体Aa连续自交ｎ次，后代中AA型的个体数＝aa型的个体数＝1212nn，杂合子的个体数＝n21，纯合子的比例1－n21例．双链DNA分子中，鸟嘌呤（G）占38%，其中一条链中的胸腺嘧啶（T）占单链5%，那么，在另一条链中的胸腺嘧啶（T）占该单链的比例为多少？解析：A＝T，G＝C是双链DNA分子中的基本关系式，因而，A＋C＝G＋T＝50%，由于鸟嘌呤G占38%，所以胸腺嘧啶T占12%。根据某一碱基所占比例等于该碱基在每一个单链中所占比例之和一半的基本关系，即可求出在另一条链中的胸腺嘧啶（T）占该单链的比例为2×12%－5%＝19%。2.6数学代入法的运用在一些纯字母性的计算题中，常代入特定的值，使计算化繁为简。例．已知甲、乙两种病的遗传遵循基因的自由组合定律。一对夫妻所