江苏省盐城市南洋中学2015届高三上学期第二次诊断数学试卷Word版含解析

2014-2015学年江苏省盐城市南洋中学高三（上）第二次诊断数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）1．若集合M={y|y=2014﹣x}，N={y|y=}，则M∩N=．2．不等式|8﹣3x|＞0的解集是．3．若函数f（x）=为奇函数，则a=．4．已知{an}中a1=﹣3且an=2an﹣1+1；则an=．5．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为．6．设，若恒成立，则k的最大值为．7．△ABC的两条边上的高的交点为H，外接圆的圆心为O，则，则实数m=．8．已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|﹣3|等于．9．若实数x，y满足的最小值是．10．已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是．11．已知sin（x+）=，则sin（﹣x）+sin2（﹣x）的值为．12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣6x+5=0，点A，B在圆C上，且AB=2，则|+|的最大值是．13．已知f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，．当x∈[﹣2，0）∪（0，2]时，，则方程的解的个数为．14．设m＞3，对于项数为m的有穷数列{an}，令bk为a1，a2，…，ak（k≤m）中最大值，称数列{bn}为{an}的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查正整数1，2，…，m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{cn}，则创新数列为等差数列的{cn}的个数为．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．函数．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在，使不等式f（x0）＜m成立，求实数m的取值范围．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD于O．（Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）设E为线段PC上一点，若AC⊥BE，求证：PA∥平面BED．17．给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点（0，1）．（1）请求出椭圆C的标准方程；（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．18．如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2．（1）已知函数f（x）=x3﹣2hx2﹣hx，若f（x）∈Ω1且f（x）∉Ω2，求实数h的取值范围；（2）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函数值由下表给出，求证：d（2d+t﹣4）＞0；（3）定义集合ψ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，请问：是否存在常数M，使得∀f（x）∈ψ，∀x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．20．有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为dm，并且a1n，a2n，a3n，…，ann成等差数列．（Ⅰ）证明dm=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），并求p1+p2的值；（Ⅱ）当d1=1，d2=3时，将数列dm分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为（cm）4（cm＞0），求数列的前n项和Sn．xabca+b+cf（x）ddt4（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n＞N时，对于（Ⅱ）中的Sn，求使得不等式成立的所有N的值．本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两项评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修4-1：几何证明选讲22．（几何证明选讲）如图，以正方形ABCD的顶点C为圆心，CA为半径的圆交BC的延长线于点E、F，且点B为线段CG的中点．求证：GE•GF=2BE•BF．选修4-2：矩阵与变换23．已知矩阵A=属于特征值λ的一个特征向量为α=．（1）求实数b，λ的值；（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C′：x2+2y2=2，求曲线C的方程．选修4-4：极坐标与参数方程24．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q的极坐标．选修4-5：不等式选讲25．设a，b为互不相等的正实数，求证：4（a3+b3）＞（a+b）3．【必做题】第26题、第27题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．26．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，，BC=4．（1）求证：BD⊥PC；（2）求直线AB与平面PDC所成角；（3）设点E在棱PC、上，，若DE∥面PAB，求λ的值．27．已知数集A={a1，a2，…，an}（1=a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），∃i，j（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立．（Ⅰ）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）求证：an≤2a1+a2+…+an﹣1（n≥2）；（Ⅲ）若an=72，求数集A中所有元素的和的最小值．2014-2015学年江苏省盐城市南洋中学高三（上）第二次诊断数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）1．若集合M={y|y=2014﹣x}，N={y|y=}，则M∩N={y|y＞0}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用交集的定义求解．解答：解：∵集合M={y|y=2014﹣x}={y|y＞0}，N={y|y=}={y|y≥0}，∴M∩N={y|y＞0}．故答案为：{y|y＞0}．点评：本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题．2．不等式|8﹣3x|＞0的解集是{x|x≠}．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由绝对值的定义，|x|≥0恒成立，在x≠0时，|x|＞0恒成立，可将不等式|8﹣3x|＞0化为8﹣3x≠0，进而得到结论．解答：解：∵|8﹣3x|＞0∴8﹣3x≠0即x≠∴原不等式的解集是{x|x≠}．故答案为：{x|x≠}．点评：本题考查绝对值的解法，正确运用绝对值的定义是关键．3．若函数f（x）=为奇函数，则a=﹣．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）=为奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），据此列出方程，求出a的值是多少即可．解答：解：因为函数f（x）=为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）==﹣，可得（2x﹣1）（x﹣a）=（2x+1）（x+a），解得a=﹣．故答案为：﹣．点评：本题主要考查了函数的奇偶性质的运用，属于基础题．4．已知{an}中a1=﹣3且an=2an﹣1+1；则an=﹣2n﹣1．考点：数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：把数列递推式两边加1得到新数列{an+1}，该数列为等比数列，求出其通项公式，则an可求．解答：解：由an+1=2an+1，得an+1+1=2（an+1），∵a1+1=﹣2≠0，∴数列{an+1}是以﹣2为首项，以2为公比的等比数列∴an+1=（﹣2）2n﹣1=﹣2n，∴an=﹣2n﹣1．故答案为：﹣2n﹣1点评：本题考查了数列递推式，对于an+1=pan+q型的数列递推式，常用构造等比数列的方法求解．5．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：由题意两式相加平方求出sinC，判断C是否满足题意即可．解答：解：两式平方相加可得9+16+24sin（A+B）=37，sin（A+B）=sinC=，所以C=或π．如果C=π，则0＜A＜，从而cosA＞，3cosA＞1与4sinB+3cosA=1矛盾（因为4sinB＞0恒成立），故C=．故答案为：．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围的判断，是本题的易错点．6．设，若恒成立，则k的最大值为8．考点：函数的最值及其几何意义．专题：综合题．分析：令t=，恒成立，等价于tmin≥k恒成立，利用基本不等式求出最小值，即可求k的最大值．解答：解：令t=∵恒成立，∴tmin≥k恒成立t====2（2+）∵∴2m＞0，1﹣2m＞0∴（当且仅当，即m=时取等号）∴t≥8∴k≤8∴k的最大值为8故答案为：8点评：本题考查恒成立问题，考查基本不等式的运用，解题的关键是求函数的最小值．7．△ABC的两条边上的高的交点为H，外接圆的圆心为O，则，则实数m=1．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；数形结合；转化思想．分析：根据题意作出图形，由外心和垂心的性质证明四边形AHCD是平行四边形，由向量加法的三角形法则，由向量相等和向量的减法运算进行转化，直到用，和表示出来为止．解答：解：如图：作直径BD，连接DA、DC，由图得，=﹣，∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC，∵BD为直径，∴DA⊥AB，DC⊥BC∴CH∥AD，AH∥CD，故四边形AHCD是平行四边形，∴=，又∵，∴==，对比系数得到m=1．故答案为：1．点评：本题考查三角形的五心，解答本题，关键是根据题意，构造出平行四边形，再利用向量运算，将三个向量的和表示出来，本题中选择入手的位置很关键，此类似于代数中的化简式证明．作题时注意构造法思想的运用，向量在几何中的运用．8．已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|﹣3|等于．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：计算题．分析：由题意并且结合平面数量积的运算公式可得|﹣3|，通过平方即可求解，可得答案．解答：解：因为向量，均为单位向量，它们的夹角为60°，所以|﹣3|2=﹣6+9=10﹣3=7所以|﹣3|=．故答案为：．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握平面向量数量积的运算性质与公式，以及向量的求模公式的应用，此题属于基础题主要细心的运算即可得到全分．9．若实数x，y满足的最小值是1．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：令t=x+2y，要求z的最小值，只要求解t的最小值，作出不等式组表示的平面区域，由于t=x+2y，可知直线在y轴上的截距越大，t越大，可求t的最小值，进而可求z的最小值解答：解：令t=x+2y作出不等式组表示的平面区域，如图所示由于t=x+2y可得y=，根据直线在y轴上的截距越大，t越大∴直线t=x+2y平移到点O（O，0）时，t取得最小值0，此时，z=1故答案为：1点评：本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数的几何意义10．已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是（﹣1，﹣1）．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由题意f（x）在[0，+∞）上是增函数，而x＜0时，f（x）=