2.4-Hermite插值多项式

1第四节Hermite插值多项式要求在节点上函数值相等，而且要求在节点上若干阶导数也相等。即,要求插值函数P(x)满足在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅把此类插值多项式称为埃米尔特（Hermite）插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H(x)。()()()(),'()'(),,()()mmiiiiiiPxfxPxfxPxfx2两点三次Hermit插值x0x0yy1y1xy0y1y33(),()0,1iiiiHxyHxyi已知：构造一个次数3的多项式H3(x)，满足插值条件：（*）3两点三次Hermit插值（续1）直接设dcxbxaxxH233)(待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆Lagrange插值基函数的方法，引入四个基函数)(),(),(),(1010xxxx使之满足0)(0)(0)(1)(10001000xxxx10111011()0()1()0()0xxxx0)(1)(0)(0)(10001000xxxx10111011()0()0()0()1xxxx54两点三次Hermit插值（续2）300110011()()()()()Hxyxyxyxyx令0101(),(),(),()xxxx其中都是次数为3的多项式则H3(x)是一个次数3的多项式且满足插值条件（*）52100))](([)(xxxxbax210012()()bxxxx2011()axx基函数求法：0()x求0101()0()0xx00()1x21010100))(21()(xxxxxxxxx3620101011))(21()(xxxxxxxxx同理7设由β'0(x0)=1，得,于是同理有2100))(()(xxxxax210100))(()(xxxxxxx201011))(()(xxxxxxx2011()axx8定理：满足插值条件（*）的三次Hermite插值多项式H3(x)存在且唯一。9三次Hermite插值多项式的余项定理设f(x)在包含x0,x1的区间[a,b]内存在四阶导数，则对任意x[a,b]，总存在一个(a,b)（依赖于x）使2120)4(33)()(!4)()()()(xxxxfxHxfxR10证明:由插值条件知R3(x0)=R3'(x0)=0,R3(x1)=R3'(x1)=0构造辅助函数21203)())(()()()(xtxtxCtHtftF利用f(x)–H3(x)=C(x)(x–x0)2(x–x1)221203)())(()(xxxxxCxR取x异于x0和x1,设11反复应用Rolle定理,得F(4)(t)至少有一个零点设为ξ∈(a,b)显然,F(t)有三个零点x0,x,x1,由Rolle定理知,F'(t)至少有两个零点t0,t1满足x0t0t1x1,而x0和x1也是F'(t)零点,故F'(t)至少有四个相异零点.1221203)())(()()()(xtxtxCtHtftF0)!4)(()()()4()4(xCfF!4)()()4(fxC210)4(21203)])([(!4)()())(()(xxxxfxxxxxCxR例求一个次数为4的多项式P4(x)，使它满足P4(0)=P'4(0)=0，P4(1)=P'4(1)=1，P4(2)=1先构造满足P2(0)=0，P2(1)=1，P2(2)=1的插值多项式P2(x)，易得设其中A，B为待定系数.利用两个导数条件确定系数A、B.2213()22Pxxx42()()()(0)(1)(2)PxPxAxBxxx由解得A=1/4,B=-3/4故443(0)2021(1)()12PBPAB22241311()(3)(1)(2)(3)2244Pxxxxxxxxx第五节分段低次多项式插值11111()()()()()()()!nnnnfRxfxLxxn从插值余项角度分析为了提高插值精度，一般来说应该增加插值节点的个数，这从插值余项的表达式也可以看出，但不能简单地这样认为，原因有三个：一.高次插值的龙格(Runge)现象•插值余项与节点的分布有关；•余项公式成立的前提条件是有足够阶连续导数（即函数足够光滑），但随着节点个数的增加，这个条件一般很难成立；•随着节点个数的增加，可能会增大。()fx1()()nf随着节点个数增加到某个值，误差反而会增加。增加插值多项式的次数并不一定会有更好的插值结果，这是因为高次多项式的振荡是很厉害的.例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取211)(xxf),...,0(105niinxi-5-4-3-2-1012345-0.500.511.522.5n越大，端点附近抖动越大，称为龙格（Runge）现象Ln(x)f(x)n=2n=5n=10分段低次插值).()(63.3)(xfxLxxLnnn时才有只有当公式的高阶插值事实上已被证明：对于分段插值的概念所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步，先将所考察的区间作一分划并在每个子区间上构造插值多项式，然后把它们装配在一起，作为整个区间上的插值函数，即称为分段多项式。01naxxxb：1,iixx,ab定义设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点a=x0x1x2…xn-1xn=b,的函数值为y0,y1,y2,…yn-1,yn,若函数满足条件(1)在每个子区间[xi,xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是线性插值多项式;(2),i=0,1,2,…,n(3)在区间[a,b]上连续;则称是f(x)在[a,b]上的分段线性插值函数。1.问题的提法二、分段线性插值1()Lx1()Lx1()iiLxy1()Lx1()Lx2.分段线性插值函数的表达式由定义，在每个子区间[xi,xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是一次插值多项式;11,1111(),0,1,,1iiiiiiiiiiixxxxLxyyxxxxxxxin1()LxnnnxxxxLxxxxLxxxxLxL11,1211,1100,11)()()()(~分段线性插值函数分段线性插值曲线图：注：由图象可知，在节点处的光滑性较差，为了提高光滑性，讨论分段三次埃尔米特插值。)(~1xL3.分段线性插值函数的余项定理：设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数f″(x)，则对2101max|()|,max||iiaxbinMfxhxx[,],xab有212|()||()()|8hRxfxLxM其中，证明：在每个小区间1011[,](,,,)iixxin12()()()()!iiiifRxxxxx在区间上[,]ab21012|()|max|()|()()iiiinMRxRxxxxx221144()max()()iiiixxhxxxx由于2128|()||()()|hRxfxLxM于是缺点：分段插值函数只能保证连续性，失去了原函数的光滑性。优点：计算简单；适用于光滑性要求不高的插值问题。0.02.h最大步长应取4()cos1102fxx考虑构造一个函数的等距节点函数表，要使分例：段线性插值的误差不大于，最大步长h应取多大？2''max()8axbhRfx解：''''()cos,|()|1fxxfx2421||1021082hRh1.问题的提法013331331()()01()(1)()()[,];[,](3)(),()(0,1,,)niiiiiiiiiinxxxyfxyfxinHermiteSxSxSxabxxSxySxyin设个插值节点，，。已知在节点上的函数值和导数值，，，，。分段三次插值多项式应满足条件：和在上连续(2)在每个小区间上是三次多项式；定义:。分段三次Hermite插值多项式存在唯一三.分段三次Hermite插值2.分段三次Hermite插值的表达式当x∈[xi，xi+1]时,两点Hermite插值12112111211121113))(())(())(21())(21()(iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyxxxxxxyxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxS(i=0,1,2,···,n-1)定理：设f(x)在[a,b]上具有四阶连续导数，S3(x)是其分段三次Hermite插值函数，则对任一给定的,有434(4)1401|()()|384max||,max|()|iiinaxbhfxSxMhxxMfx式中[,]xab