第五章第一节数列的概念与简单表示法

一、选择题1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于()A．4B．2C．1D．－2解析：由题可知Sn＝2(an－1)，所以S1＝a1＝2(a1－1)，解得a1＝2.又S2＝a1＋a2＝2(a2－1)，解得a2＝a1＋2＝4.答案：A2．已知数列{an}满足a10，an＋1an＝12，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不确定解析：∵an＋1an＝121.又a10，则an0，∴an＋1an.∴{an}是递减数列．答案：B3．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列23，34，45，56，…的通项公式是an＝nn＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：①错误，如an＋2＝an＋an＋1，a1＝1就无法写出a2；②错误，an＝n＋1n＋2；③正确；④错误，两数列是不同的数列．答案：A4．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是()A．103B．10818C．10318D．108解析：根据题意结合二次函数的性质可得：an＝－2n2＋29n＋3＝－2n2－292n＋3＝－2n－2942＋3＋29×298.∴n＝7时，an＝108为最大值．答案：D5．(2012·银川联考)设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－1an，记数列{an}的前n项之积为Πn，则Π2011的值为()A．－12B．－1C.12D．2解析：由a2＝12，a3＝－1，a4＝2可知，数列{an}是周期为3的周期数列，从而Π2011＝Π1＝2.答案：D二、填空题6．数列54，109，17a＋b，a－b25，…中，有序数对(a，b)可以是__________．解析：从上面的规律可以看出a＋b＝16，a－b＝26，解上式得a＝21，b＝－5.答案：(21，－5)7．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)(78)n，则当an取得最大值时，n等于________．解析：由题意知an≥an－1，an≥an＋1，∴n＋278n≥n＋178n－1，n＋278n≥n＋378n＋1.∴n≤6，n≥5.∴n＝5或6.答案：5或6三、解答题8．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16，即150是这个数列的第16项．(3)令an＝n2－7n＋60，解得n6或n1(舍)，∴从第7项起各项都是正数．9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.求数列{an}与{bn}的通项公式．解：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，当n＝1时，a1＝S1＝4也适合，∴{an}的通项公式是an＝4n(n∈N*)．∵Tn＝2－bn，∴当n＝1时，b1＝2－b1，b1＝1.当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝(2－bn)－(2－bn－1)，∴2bn＝bn－1.∴数列{bn}是公比为12，首项为1的等比数列．∴bn＝12n－1.10．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)．(1)求a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)由已知：{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)，∴a2＝a1＋4＝5，a3＝a2＋7＝12.(2)由已知：an＝an－1＋3n－2(n≥2)得：an－an－1＝3n－2，由递推关系，得an－1－an－2＝3n－5，…，a3－a2＝7，a2－a1＝4，叠加得：an－a1＝4＋7＋…＋3n－2＝n－14＋3n－22＝3n2－n－22，∴an＝3n2－n2(n≥2)．当n＝1时，1＝a1＝3×12－12＝1，∴数列{an}的通项公式an＝3n2－n2.