第五章_密度矩阵与量子统计

高等量子力学高一波1第五章密度矩阵与量子统计能够统一描写混合系综和纯粹系综的方法是1927年VonNeumann提出的密度算符方法。可观察量Aˆ大量观测后的平均值为ATrAˆˆˆ式中，ˆ为密度算符，Tr为对矩阵求迹。通常，ˆ，且nnnC可对一组基n展开则*,*ˆmnnmmnmnCCmnCC，和mnmnmnnmmnnnAmCCnAmnAmmnnAnATrA,*,,ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ密度算符为厄密算符，ˆˆ------简单证明！满足归一化条件，1ˆTr（证明过程！！）5.1D二态体系的密度矩阵与极化取基矢为10,01，由密度算符的厄密性，可知密度矩阵中含有3个独立实参数。简单说明！密度算符可写成下面的形式P121ˆ其中，P为极化矢量。TrP利用公式，BAiBABA，可证：141ˆ12241214121412141141ˆ222222PPPPPPPiPPPPPP，高等量子力学高一波2混合系综纯粹系综11PP-----下面举例说明：（1）完全极化的密度矩阵，00010101ˆ11211-00111001210002210001PPz（2）完全非极化，01001212121ˆP（3）在z表象看x轴的完全极化，101101211111212121xxxPSS（4）部分极化。混合系综有75%的z和25%的x组成，25.0,75.0xzSWSW，则01104110014310414104300431434141431414141474141414721818181872121212141000143可得，8541,4322zxxzPPPPP---极化度任一个2维矩阵可以分解为Pauli矩阵之和。§5.2密度矩阵的运动方程在Schrodinger表象中，密度算符初始时刻，000t时刻，ttt运动方程，ˆ,ˆˆHti--masterequation或Liouvilleequation与Heisenberg方程的相似性？在自旋1/2的电子二态体系中，高等量子力学高一波3BBgBgBH2121令P121ˆ，则运动方程变为，PBgdtPdPBiBPBPiBPBPPBiPBPBPBgiBPPBgPBgHtPitiHtiBBBB2141,41ˆ,ˆ21ˆ,ˆ,ˆˆ连续本征值下的密度矩阵，''ˆ'xx§5.3极化和散射5.3A散射的S矩阵依赖于自旋的情形自旋1/2的入射粒子波函数（二分量形式）：212121,1,CCCCCCeeincincikzincikz，可以推测，相应的运动方程在无限远的渐进解形式为，22211211,SSSSSSreeincikrikz。这里，散射振幅S依赖于角度,和动量k。通解的形式为：2211CC[分析过程]：2212221111222121212111212122211211212122211211SSreeCSSreeCCSCSCSCSreCCeCCSSSSreCCeCCSSSSreeikrikzikrikzikrikzikrikzikrikz高等量子力学高一波4从上式分析可知，两个特解为：reSSereSSeikrikzikrikz2212221111~~则方程的通解为，2211CC，通过对称性分析，确定常数。假设能够产生与自旋有关的散射的哈密顿量为，LrWrVpH22式中，第二项为中心势，第三项为“自旋-轨道耦合”假设散射势存在球对称性，则Hˆ与2LJ的各个分量都对易。则21,为zJ的本征态，相应的本征值为2,2（这里，2个基决定了本征值只有两个，则zJ的本征态只能有2个，量子数只有2个）。注意：zJ改变转动，不影响径向运动。本征方程为,22111221122zzzzzJiLJiiikrikrikzikrikrikrikzikrikrikzikrikzzeSeSSSiSSSSSireSreSerightreSreSireSereSileftreSSereSSei12212121222111111211121211111211121111012121212112121121211以上可知，S的对角项只是的函数，与无关。高等量子力学高一波5考虑体系H在空间反演下保持不变：对y-z平面的空间反演算符是xxP，规则，:,:xxxxP。则空间反演不变要求，在xxP作用下，21。经分析，,ikzikzeereikr不变，,:xP，则可得heSSgSSi,,,12212211综合以上讨论，S矩阵为sincosxyiiihIggehehgS引入单位矢量，cossinsincossin,00,0cossinkkkkkkkkkknfififi推导过程如下，0,cos,sincossinsincossin0110cos000sincossincos0nihIgihihIgihiiihIgiihIggehehgnihIgSyxxyii，这里，fifififikkkkkkknnkkkjjikkksinsin0cossinsin0cossinsinsincossinsincossin10022222上式表明，入射的非极化束流经散射后的极化束流方向为n方向，这是宇称守恒定律的结果。由上面的讨论可知，给定散射振幅S，可计算给定方向,上散射束流的强度，并由渐近解给出微分散射截面，即incincincincSSSSdd----有自旋。2fdd--------------------无自旋。高等量子力学高一波622hgSSddincinc----与极化方向n无关。解Schrodinger方程，则可得hg,的具体形式。散射后束流的极化方向在微分散射截面中没有显示。5.3B极化束流引起散射的左右不对称密度矩阵，incincinc微分散射截面，SSTrSSTrSSddincincincincinc采用极化矢量的记法，则有oincP121。SSPSSTrSSPTrddoo21121这里，oP的纵向极化分量为axiszkkkkkPiiiiiˆ,ˆ0，横向极化分量为axisykkPPiiˆ00，则，iiiikkPkkPPPˆˆ00000ziiyiikkPkkPPPˆˆ000022**22**22**222**2**2hgSSTrnghhgiIhgnghhginninnhIgnghhginnhIgnnhnighnhigIgSSnihIgSnihgISnPinPghhgihPgnPghhgihPIgSSPoooooo**22**22高等量子力学高一波70cossinˆˆ0ˆsinˆsincosˆ0cossinˆˆ0cosˆ000000000000000nkkPkkPPPkkPPkkPkkPkkPkkPPkjinPkkPPnPiiiiiiiiiiiiiiiiikkPkkPPPˆˆ00000cosˆ00**22iikkPPghhgihgdd从这里可以看出，散射强度对角度的依赖关系，cos,baI这是实验上发现的极化粒子束流被散射后呈现左右不对称的表示，当极化矢量20,,0,0faIbP，就退回到无自旋粒子散射的情况。2009-11-11上课内容§5.4量子统计学简介5.4.A密度矩阵与熵用“熵”刻画纯粹系综和混合系综间的深刻区别。lnTrkSB这里，11111lnlnnnn当diag为对角矩阵时，nnnnnBkSln。每一个矩阵元均为10nn的数，所以0S是半正定的。对于纯粹系统，1S。对于混合系综，NkNNkSBNnBln1ln11-----体系状态的混乱程度。纯粹系综---所有成员均处于同一个量子态，熵取最小值0。完全混乱的系综---每一个量子态等几率被占据，熵取最大值NkSBln。物理上，在给定Hamiltonian下，体系的熵将单调上升，达到热平衡。----0t有密度算符运动方程可知，0,H---可同时对角化，取H的本征态为基。高等量子力学高一波8nnnnEnH,表示在能量nE的本征态中体系得占据几率。取熵的极值，01lnln