第二章补充习题参考答案

二—1第二章补充习题参考答案１．求微商（１）xxxxexxexexxelnln]'ln[；（２）xexxexxexxexxxxcoscossin(21sin(cos21]'sin(cos21[）））；（３）22222222222csccotcos2csc2sinsin2coscossinsincos2'sincosxxxxxxxxxxxxxxx；（４）2211arctan2]')[(arctanxxx；（５）2222111221]'1['11xxxxxxxx；（６）111111]'1[arcsin222xxxxx；(7),)1)(1(1]1111[21'1),1ln()1[ln(21ln,11xxxxuuxxuxxu212111)1)(1(11111'11arctanxxxxxxxxx；（８）72331242753322475331237533124)1()1()2(715)1()1()2(32)1()1()2(4]')1()1()2[(xxxxxxxxxxxxxx　　　　；或用对数求导法．)1(715)1(3224)1()1()2(',)1(715)1(3224'1)1ln(75)1ln(31)2ln(4ln,)1()1()2(3227533124322327533124xxxxxxxxyxxxxxyyxxxyxxxy二—2（９）2222333sec)tan6(tan3121tan31'tan31arccos'coscos3cos4arccos'cos3cosarccos；（１０）xxxln1)]'[ln(ln；(11)ctgxxctgxxxxxxctgxx2sincoscos1sin)]'ln(sin)cos1[ln()]'[ln(csc；（１２）xxxxxxxxxxseccos1]sin1cossin1cos[21'))sin1ln()sin1(ln(21'sin1sin1ln；（１３）]cotsectan2[}sinlnexp{tan}]'sinln[exp{tan222xxxxxxx；（１４）xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx23323323253cotcoscotcos3sincoscotcsccoscotsincotcos3sincos]cotcoscos[tancossin’’（１５）xaxxaxaaaxxxaaax222222221arccos’；（１６）xxxxxxxx1121212121121'21arcsin2122；（１７）xxxxxxxxxarctan12211arctan)]'1ln(21arctan[222；(18)2222222222222222222222)1(12221')ln)(ln(22'ln22axaxxaxxaaxxaxaaxxaaxxaaxxaaxx２．求高阶微商：（１）mbaxy)(，求nndxyd（m是自然数）．二—3mnmnbaxanmmmybaxammybaxmaybaxynmnnmmm　　　　，　　　　　　　　　　0,)()1()1(,,)()1(,)(',)()(221（２）xxey，求nndxyd．).()(,),2(),1(',nxxenyxxeyxxeyxxey（３）),(),(,xgvxuvuynm求,'yy．)()(')()(')()('''''11xgxngxxmxgxvnvumuvuvvnuuvmuynmnmnmnm；uvvmnuvvnnuummvnvumuvuvnvvnvumuumuvuvnvumuvuvnvumuvuvnvumuvuvnvumuvuynmnmnmnmnmnm''2')1(')1(''''''''']'[}'''{222222222（４）222)()(cbyax，求22dxyd．,,0)(2)(2byaxdxdydxdybyax323222222)()()()()(1)()()(bycbybyaxbyaxbyaxbybydxdyaxbybyaxdxddxdydxddxyd３．为何值时，xey满足方程0'qypyy，其中p，q是常数．xxxeyeyey2,',，代入方程，并整理，得,02qp故当满足一元二次方程02qp时，即可．４．设12124432xxxy，用什么方法求微商最简便，试求之．二—4用对数求导法最简便．取对数，有)1ln(21)2ln(41)12ln(31ln42xxxy，求导，得,12)2(41)12(34'1432xxxxxyy故12)2(41)12(341212'4324432xxxxxxxxy．５．设baxxdxdy32，baxxz22，求dzdy．由baxxz22得axdxdz22，所以axbaxxdxdzdxdydzdy22//32．６．设1,22vuuexu，求dxdv．由于,),1(vududvuedudxu所以)1(//uveududxdudvdxdvu．７．求)()(xGyF确定的)(xfy的dxdy．方程两边对x求导，得)('')('xGyyF．所以)(')(''yFxGydxdy．８．如果)(xfy解成反函数为)(ygx，问)('xf和)('yg有何关系？)('11)('ygdydxdxdyxf．９．物体转动的角速度dtd，角加速度dtd，求证2)(2dd．22//)()(22dtddtddtddd．１０．设质点作直线运动的方程为s＝s(t)，v为速度，a为加速度，试证dsdvva．dsdvvdtdsdsdvdtdvadtdsv,．１１．设kTekTA254)(1，（kA,,都是常数），求dTd．二—5方程变形，得kTAekT254)1()(，两边微分，dTekTAdAedTkTkdkTkTkT22253542)1()(54)(．解得kTkTAekTekTAkTkdTd2542253)(2)1()(54．１２．在低温气体吸附理论中，用到下列函数20lnVABPP，V是在压力P时被吸收的气体体积，A，B为常数．试问若将lnP对21V作图．所得曲线上各点切线的斜率怎样计算？函数可变形为20lnlnVABPP，作变量替换21,lnVxPy，则函数化为AxBPy0ln，故所作曲线的斜率为A．１３．溶液自深为１８cm、顶为１２cm的锥形漏斗中流入一直径为１０cm的圆柱形容器中，当漏斗中溶液深为１２cm时，其水面下落的速率为１cm／min，问圆柱形容器中水平面的上升速率为何？设时刻t时，锥形容器的水深为h，圆柱形容器的水深为H，则锥形容器中减少的水的体积就是圆柱形容器中应有的体积，故有Hhh222533118631．两边对t求导，dtdHdtdhh2592，把1,12dtdhh（因为高度下降），解得64.02516dtdH故圆柱形容器水面上升的速率为0.64cm／min．１４．求例１３（第５５页）中滑块的加速度．由该例可知，滑块的速度为trltrtrv2222sin22sinsin所以该滑块的加速度是dtdva（略）１５．求下列函数的极值点及极值．（１）xexy2；函数在R上连续，且xexxy)2('，驻点为,0x2．因为当2,20,0xxx时，对应的0',0',0'yyy，故0x是函数的极小值点，对应的极小值是０；二—6而2x是函数的极大值点，对应的极大值为24e．（２）||xy0x是函数的极小值点，极小值为０．１６．在计算化学平衡常数时，要用到函数23)1(xxy．试作此函数在－２＜x＜１上的图形．解略１７．设有一质点在坐标原点附近振动（例如弹簧上的质点），已知其振动方程（质点所在的位置坐标和时间t的关系）为tax2sin，试研究此运动在何处速度的绝对值最大，何处最小？在何处加速度的绝对值最大，何处最小？质点振动速度，tadtdxv2cos2振动加速度tadtdva2sin4，在x＝０处，质点运动速度的绝对值最大，加速度的绝对值最小；在ax处，质点运动的速度的绝对值最小，而加速度的绝对值最大．１８．子弹在空中飞行，其弹道方程为800)1(22xmmxy，这里原点取为子弹出膛之点，其中m为弹道曲线在原点处的切线的斜率．（１）若要子弹击中同一水平面上最远距离的目标；（２）若要子弹击中300米远处一直立墙壁上的最大高度，问m之值各为多少？（１）令y＝０，解得x＝０（舍去），18002mmx，由0)1()1(800)1(1600)1(8002222222mmmmmdmdx，解得m＝１，m＝－１（舍）故m＝１时，子弹射得最远，最远距离为４００米．（２）x＝３００时，)1(89003002mmy，令04900300mdmdy，解得34m，从而，当34m时，可击中３００米远处墙壁的最大高度，此时的最大高度为８７．５米．１９．求范德华位能函数117ddV（,是常数）的最小值（d是二原子间的距离）．据0117'128ddV，解得4711d，故V的最小值为4747min117114]117[117V．LMCBA二—7２０．一人在船中距海岸最近点B为L公里，设此人划船的速度为公里／小时，步行的速度为公里／小时．如果此人想以最少时间到达距最近点为d公里的岸C上，那么应当在何处登岸？BC=d，AB=L，设BM=x，则xdMCLxAM,22，故此人从A到C共耗时xdLxt22，令0122Lxxdxdt，解得当时，22Lx，故此种情况下，在距B点22L公里的地方登岸耗时最少；当时，可直接对着目标划船过去．２１．求内接于椭圆12222byax的最大矩形面积．设椭圆的参数方程为tbytaxsincos，，则椭圆的面积为tabttabS2sin2sincos4，)20(t，显然当4t时，内接的矩形面积最大，最大面积为2ab．２２．边长为2.4米的正方形金属板受热膨胀，得到边长为2.5米的正方形板．（１）计算膨胀面积的精确值；（２）用微分近似计算所膨胀的面积．边长为x的正方形的面积2xS，1.0,4.20xx（１）膨胀面积的精确值49.04.25.2)(22202