第三节机械能守恒定律及其应用

5-3一、选择题(本大题共9个小题，共63分，每小题至少有一个选项正确，全部选对的得7分，选对但不全的得4分，有选错的得0分)1．下列运动中能满足机械能守恒的是()A．铅球从手中抛出后的运动(不计空气阻力)B．子弹射穿木块C．细绳一端固定，另一端拴着一个小球，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动D．吊车将货物匀速吊起【解析】铅球从手中抛出后，在不计空气阻力的情况下只有重力做功，没有其他力做功，机械能守恒，A正确；子弹穿过木块的过程中，子弹受到木块施加的摩擦力的作用，摩擦力对子弹做负功，子弹的动能一部分转化为内能，机械能不守恒，B不正确；小球在光滑的水平面上运动，受到重力，水平面对小球的支持力，还有细绳对小球的拉力作用，这些力皆与小球的运动方向垂直，不做功，所以小球在运动过程中无能量转化，保持原有的动能不变，即机械能守恒，C正确；吊车将货物匀速吊起的过程中，货物受到与其重力大小相等、方向相反的拉力作用，上升过程中除重力做功外还有拉力对物体做正功，货物的机械能增加，运动过程机械能不守恒，D不正确。【答案】AC2．(2011·临沂模拟)质量为m的小球从高H处由静止开始自由下落，以地面作为参考平面。当小球的动能和重力势能相等时，重力的瞬时功率为()A．2mggHB．mggHC.12mggHD.13mggH【解析】动能和重力势能相等时，下落高度为h＝H2，速度v＝2gh＝gH，故P＝mg·v＝mggH，B选项正确。【答案】B3.如图所示，具有一定初速度的物块，沿倾角为30°的粗糙斜面向上运动的过程中，受一个恒定的沿斜面向上的拉力F作用，这时物块的加速度大小为4m/s2，方向沿斜面向下，那么，在物块向上运动的过程中，下列说法正确的是()A．物块的机械能一定增加B．物块的机械能一定减小C．物块的机械能可能不变D．物块的机械能可能增加也可能减小【解析】机械能变化的原因是非重力、弹力做功，题中除重力外，有拉力F和摩擦力Ff做功，则机械能的变化决定于F与Ff做功大小关系。由mgsinα＋Ff－F＝ma知：F－Ff＝mgsin30°－ma0，即FFf，故F做正功多于克服摩擦力做功，故机械能增加。A项正确。【答案】A4．(2010·福建理综)如图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t＝0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复。通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图象如下图乙所示，则()A．t1时刻小球动能最大B．t2时刻小球动能最大C．t2～t3这段时间内，小球的动能先增加后减少D．t2～t3这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能【解析】0～t1时间内，小球做自由落体运动，故弹簧弹力为零。t1～t2时间内，小球压缩弹簧，当弹力等于重力时，小球速度最大，在此时刻之前，小球做加速度减小的加速运动，之后做加速度增加的减速运动，t2时刻减速到零。t2～t3时间内，小球向上先加速运动后减速运动。故A、B、C三选项中，只有C项正确。t2～t3时间内弹簧减少的弹性势能转化为小球增加的动能和重力势能之和，故D项错误。【答案】C5.如右图所示，一轻弹簧左端固定在长木板M的左端，右端与小木块m连接。且m与M及M与地面间接触光滑。开始时，m与M均静止，现同时对m、M施加等大反向的水平恒力F1和F2。在两物体开始运动以后的整个运动过程中，对m、M和弹簧组成的系统(整个过程弹簧形变不超过其弹性限度)，正确的说法是()A．由于F1、F2等大反向，故系统的机械能守恒B．由于F1、F2分别对m、M做正功，故系统的动能不断增加C．由于F1、F2分别对m、M做正功，故系统的机械能不断增加D．当弹簧的弹力大小与F1、F2的大小相等时，m、M的动能最大【解析】开始拉力大于弹力，F1、F2对物体均做正功，所以机械能增加。当拉力等于弹力时，物体速度最大，故动能最大；当拉力小于弹力时，物体做减速运动，速度减小到零以后，物体反向运动，拉力F1、F2均做负功，故机械能减少。本题答案为D。【答案】D6.如图所示，一根长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧。从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为()A．hB．1.5hC．2hD．2.5h【解析】在b落地前，a、b组成的系统机械能守恒，且a、b两物体速度大小相等，根据机械能守恒定律可知：3mgh－mgh＝12(m＋3m)v2⇒v＝ghb球落地时，a球高度为h，之后a球向上做竖直上抛运动，上升过程中机械能守恒，12mv2＝mgΔh，所以Δh＝v22g＝h2，即a可能达到的最大高度为1.5h，B项正确。【答案】B7．质点A从某一高度开始自由下落的同时，由地面竖直上抛质量相等的质点B(不计空气阻力)。两质点在空中相遇时的速率相等，假设A、B互不影响，继续各自的运动。对两物体的运动情况，以下判断正确的是()A．相遇前A、B的位移大小之比为1∶1B．两物体落地速率相等C．两物体在空中的运动时间相等D．落地前任意时刻两物体的机械能都相等【解析】由于两物体相遇时速度大小相等，根据竖直上抛运动的对称性特点，可知两物体落地时速率是相等的，B是正确的；由于A是加速运动而B是减速运动，所以A的平均速率小于B的平均速率，故在相遇时A的位移小于B的位移，A是错误的；两物体在空中的运动时间不相等，自由落体运动时间是竖直上抛时间的一半，故C是错误的；在相遇点A、B两物体具有相同的机械能，由机械能守恒可以确定落地前任意时刻两物体的机械能都相等，故D是正确的。【答案】BD8.如图所示，绝缘弹簧的下端固定在斜面底端，弹簧与斜面平行，带电小球Q(可视为质点)固定在光滑绝缘斜面上的M点，且在通过弹簧中心的直线ab上。现把与Q大小相同，带电性也相同的小球P，从直线ab上的N点由静止释放，在小球P与弹簧接触到速度变为零的过程中()A．小球P的速度先增大后减小B．小球P和弹簧的机械能守恒，且P速度最大时所受弹力与库仑力的合力最大C．小球P的动能、重力势能、电势能与弹簧的弹性势能的总和不变D．系统的机械能守恒【解析】小球P与弹簧接触时，沿平行斜面方向受到小球Q对P的静电力、重力的分力、弹簧的弹力，开始时合力的方向沿斜面向下，速度先增加，后来随着弹簧压缩量变大，合力的方向沿斜面向上，速度逐渐减小，A项正确；小球P和弹簧组成的系统受到小球Q的静电力，且静电力做正功，所以系统机械能不守恒，B、D项错误；把弹簧、小球P、Q看成一个系统，除重力外无外力对该系统做功，故系统的总能量守恒，C正确。【答案】AC9.(2011·徐州模拟)有一竖直放置的”T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻细绳相连，A、B质量相等，且可看做质点，如图所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止。由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为60°时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为()A.4v2gB.3v2gC.3v24gD.4v23g【解析】设滑块A的速度为vA，因绳不可伸长，两滑块沿绳方向的分速度大小相等，得：vAcos30°＝vBcos60°，又vB＝v，设绳长为l，由A、B组成的系统机械能守恒得：mglcos60°＝12mv2A＋12mv2，以上两式联立可得：l＝4v23g，故选D。【答案】D二、非选择题(本大题共3个小题，共37分，解答时应写出必要的文字说明、方程式和演算步骤，有数值计算的要注明单位)10．(12分)如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角为θ＝30°，另一边与水平地面垂直，顶端有一个定滑轮，跨过定滑轮的细线两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。开始时，将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升，所有摩擦均忽略不计。当A沿斜面下滑距离x后，细线突然断了。求物块B上升的最大高度H。(设B不会与定滑轮相碰)【解析】设细线断前一瞬间A和B速度的大小为v，A沿斜面下滑距离x的过程中，A的高度降低了xsinθ，B的高度升高了x。物块A和B组成的系统机械能守恒，物块A机械能的减少量等于物块B机械能的增加量，即4mgxsinθ－12·4mv2＝mgx＋12mv2细线断后，物块B做竖直上抛运动，物块B机械能守恒，设物块B继续上升的最大高度为h，有mgh＝12mv2。联立两式解得h＝x5，故物块B上升的最大高度为H＝x＋h＝x＋x5＝65x。【答案】65x11．(12分)如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相接，导轨半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半个圆周运动到达C点。试求：(1)弹簧开始时的弹性势能；(2)物体从B点运动至C点克服阻力做的功；(3)物体离开C点后落回水平面时的动能。【解析】(1)物块在B点时，由牛顿第二定律得：FN－mg＝mv2BR，FN＝7mgEkB＝12mv2B＝3mgR在物体从A点至B点的过程中，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能Ep＝EkB＝3mgR。(2)物体到达C点仅受重力mg，根据牛顿第二定律有mg＝mv2cREkC＝12mv2c＝12mgR物体从B点到C点只有重力和阻力做功，根据动能定理有：W阻－mg·2R＝EkC－EkB解得W阻＝－0.5mgR所以物体从B点运动至C点克服阻力做的功为W＝0.5mgR。(3)物体离开轨道后做平抛运动，仅有重力做功，根据机械能守恒定律有：Ek＝EkC＋mg·2R＝2.5mgR。【答案】(1)3mgR(2)0.5mgR(3)2.5mgR12．(13分)(2011·滨州模拟)如图所示，半径为R的四分之一圆弧形支架竖直放置，圆弧边缘C处有一小定滑轮，绳子不可伸长，不计一切摩擦，开始时，m1、m2两球静止，且m1＞m2，试求：(1)m1释放后沿圆弧滑至最低点A时的速度。(2)为使m1能到达A点，m1与m2之间必须满足什么关系。(3)若A点离地高度为2R，m1滑到A点时绳子突然断开，则m1落地点离A点的水平距离是多少？【解析】(1)设m1滑至A点时的速度为v1，此时m2的速度为v2，由机械能守恒得：m1gR－2m2gR＝12m1v21＋12m2v22又v2＝v1cos45°得：v1＝4m1－2m2gR2m1＋m2。(2)要使m1能到达A点，v1≥0且v2≥0，必有：m1gR－2m2gR≥0，得：m1≥2m2。(3)由2R＝12gt2，x＝v1t得x＝4R·m1－2m22m1＋m2。【答案】(1)4m1－2m2gR2m1＋m2(2)m1≥2m2(3)4R·m1－2m22m1＋m2①利用能量转化判断机械能是否守恒，是一种较好的方法。②机械能守恒定律表达式的形式较多，列方程时左、右要一致起来。