第四章导数的计算

宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》第四章导数的计算教学目的：1.使学生准确掌握导数基本性质。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数；2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的导数运算；3.能利用导数的意义解决某些实际问题的计算。教学重点、难点：本章重点是导数计算；难点是求复合函数的导数。教学时数：§4.1一些简单函数的导数教学目的：1、导数的四则运算；2、反函数的求导；3、复合函数的求导；4、初等函数的导数。教学要求：1、掌握求导法则，特别是复合函数求导法则；2、熟练应用求导法则与基本初等函数的导数公式计算初等函数导数。教学重点：求导法则与求导公式表的应用。教学难点：复合函数求导法则及分段函数在分段点的导数。教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。一、基本初等函数的导数1.0)(c，其中c是常数。2.1)(xx，其中是常数，特别地211xx，xx21。3.axxaln1log，xx1ln。4.aaaxxln，xxee。宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》5.xxcossin；xxsincos；xxx22seccos1tan；xxx22cscsin1cot；xxxsectansec；xxxcsccotcsc；初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算得到，所以初等函数在其定义域可导。例1求32xyxe的导数。例2求函数sinxyxa的导数例3已知1cos(),1cosxfxx求(0),().2ff例4求函数xylntan3的导数。例5求函数xylnlnln的导数。二、双曲函数的导数定义1.1函数2xxeeshx;2xxeechxxxxxshxeethxchxee,分别称为双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数，统称为双曲函数。性质()chxychxchyshxshy，221chxshy22shxshxchx222222112chxchxshxchxshx2211thxchx。例6求双曲函数的导数shxchxchxshx21thxchx练习P162123(1,2)作业P1623(3)45宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》§4.2反函数的导数教学目的：利用反函数求一些函数的导数；教学要求：掌握反函数求导法则；教学重点：反函数导公式的应用；教学难点：反函数求导公式的应用；教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。一、反函数的求导定理定理2.1若函数)(xf在x的邻域连续，并严格单调，函数)(xfy在x可导，且0)(xf，则它的反函数)(yx在))((xfyy可导，且)(1)(xfy。例1求指数函数)10(xayx的导数。例2求反三角函数xarcyxyxyxycot,arctan,arccos,arcsin的导数。由定理2.1知211arcsinxx；211arccosxx；211arctanxx；211cotxxarc；chxshx；shxchx；xchthx21；xshx21coth。练习P16512宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》§4.3复合函数的导数教学目的：1、复合函数的求导；2、初等函数的导数。教学要求：1、掌握求导法则，特别是复合函数求导法则；2、熟练应用求导法则与基本初等函数的导数公式计算初等函数导数。教学重点：求导法则与求导公式表的应用。教学难点：复合函数求导法则及分段函数在分段点的导数。教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。一、复合函数的求导法则定理3.1若函数)(ufy在u可导，函数)(xu在x可导，则复合函数))((xfy在x也可导，且)()()))(((xufxf，或dxdududydxdy。例1求函数xy5sin的导数例2求对数函数)0)(ln(xx的导数。例3幂函数xy（是实数）的导数。二、初等函数的导数1、基本初等函数的求导公式1.0)(c，其中c是常数。2.1)(xx，其中是常数，特别地211xx，xx21。3.axxaln1log，xx1ln。4.aaaxxln，xxee。5.xxcossin；xxsincos；xxx22seccos1tan；xxx22cscsin1cot；xxxsectansec；xxxcsccotcsc；6.211arcsinxx；211arccosxx；211arctanxx；211cotxxarc；宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》7.chxshx；shxchx；xchthx21；xshx21coth。初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算得到，所以初等函数在其定义域可导。例4求函数xylntan3的导数。例5求函数xylnlnln的导数。例6求函数212arctan21xxy的导数。例7求函数21)sin1(xey的导数。例8求函数)1ln(2xxy的导数。例9求函数))(sin(cos32xxy的导数。三、微分形式的不变性定理3.2如果函数()yfu可导，则不论u是中间变量还是自变量，均有()dyfudu。证明(略)例10设2arctan2,yxx求.dy（用两种形式求导）练习P173123作业P173457(3,4)宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》§4.4隐函数及由参数方程所确定函数的导数重点与难点：隐函数与参数方程的求导法则的应用；隐函数概念的理解。基本内容：1、隐函数及其求导法则；2、参数方程及其求导法则。基本要求：1、初步了解隐函数的概念；2、掌握求隐函数与参数方程的导数的方法。基本方法：隐函数与参数方程的求导方法。课时分配：2学时。一、隐函数的求导法则定义设有两个非空集合A与B，若Ax，由二元方程0),(yxF对应唯一一个Bx，则称此对应关系f（或写为)(xfy）是二元方程0),(yxF确定的隐函数。求由二元方程0),(yxF确定的隐函数)(xfy的导，只须在方程0),(yxF两边对x求导，把y看成是x的函数即可。例1求07532yxxy所确定的隐函数的导数。解：将方程中y看作是由方程确定的函数()yfx，方程两边求x导数,得650yxyxy65xyyx例2求xyey所确定的隐函数的导数。例3证明：过双曲线12222byax上一点),(00yx的切线方程是12020byyaxx。例4证明：抛物线)0(axayx上任一点的切线在两坐标轴上的截距的和等于a。例5求函数32axxy的导数。例6求幂指函数)0(xxyx的导数。解：（略）宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》二、参数方程的求导法则参数方程的一般形式是ttytx),(),(。若)(tx与)(ty都可导，且0)(t，又)(tx存在反函数)(1xt，则y是x的复合函数，即)(),(1xtty，由复合函数的求导法则，有)()()(1)())()((1ttttxtdxdtdtdydxdy。例7求椭圆12222byax上一点)2,2(ba的切线斜率。解：（略）例8设炮弹的弹头初速度是0v，沿着与地面成角的方向抛射出去，求时刻0t时弹头的运动方向。解：（略）练习P18012349作业P1815(1,3)678宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》§4.5高阶导数与高阶微分教学重点：一些基本初等函数的高阶导数。教学难点：莱布尼兹公式的应用。基本内容：1、高阶导数定义及一些初等函数的高阶导数；2、莱布尼兹公式；3、高阶微分。基本要求：1、会求一些简单的初等函数的高阶导数（高阶微分）；2、理解并会应用莱布尼兹公式。基本方法：求一些初等函数高阶导数的方法。课时分配：4学时，其中2学时为习题课。一、高阶导数定义5.1函数)(xf的导函数)(xf在x的导数称为函数)(xf在x的二阶导数，记为)(xf，即xxfxxfxfx)()(lim)(000，二阶导数)(xf在x的导数称为函数)(xf在x的三阶导数，记为)(xf。一般地，函数)(xf的1n阶导数在x的导数称为函数)(xf在x的n阶导数，记为)()(xfn，即xxfxxfxfnnxn)()(lim)(0)1(0)1(0)(。二阶与二阶以上导数统称为高阶导数，有时，高阶导数也记为nndxyddxyddxyd,,,3322。例1求)0()(0110aaxaxaxPnnn的各阶导数。解：12011()(1)...nnnPxnaxnaxa…………………()0()nPxa例2求xexf)(（为常数）的n阶导数。例3求xxfsin)(的n阶导数。解：()(sin)sin()2nxxn例4求xxfcos)(的n阶导数。宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》解：()(cos)cos()2nxxn例5求)1ln()(xxf的n阶导数。解：1()(1)(1)!(ln(1))(1)nnnnxx例6求)()1()(Rxxf的n阶导数。二、莱布尼茨公式定理若u与v都是x的函数，且n阶可导，则niiininnvuCuv0)()()()(。例7设xexy22，求)20(y。例8设xxycos2，求)50(y。例9称nnnnnxdxdnxP)1(!21)(2为勒让德次多项式，求)1(nP与)1(nP。三、高阶微分定义函数)(xfy的微分dxxfdy)(（dx为常数）的微分，称微函数)(xf的二阶微分，表为yd2。一般情况，函数)(xf的1n阶微分ydn1的微分，称为函数)(xf的n阶微分，表为ydn。二阶和二阶以上的微分统称为高阶微分。总结本章内容：2学时，主要总结内容，并针对本章中出现的问题讲些典型习题。练习P19023678作业P1931(1,3,5)5(2,4)78111213