第十二章练习题

99第十二章练习题练习一一、指出函数xxcy22（c为任意常数）是否为微分方程(x+y)dx+xdy=0的解？若是解，请指出是否为通解？二、验证y=cx3是微分方程03yxy的通解，并作此微分方程通过点（1，31）的积分曲线?三、在下列各题中，确定函数式中所含参数，使函数满足所给初始条件：1、x2－y2=c,y0x=5；2、y=(c1+c2x)e2x,y0x=0y0x=1四、写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程1、曲线上任一点（x,y）的切线垂直于此点与原点的连线。2、曲线上点P（x,y）处的法线与x轴的交点为Q，且PQ被y轴平分。100*五、用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比。101练习二一、求下列微分方程的通解1、y－xy=a(y2+y)2、sec2xtgydx+sec2ytgxdy=03、(ex+y－ex)dx+(ex+y+ey)dy=04、y=cos(x－y)(提示：令z(x)=x－y)二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解1、40sin)1(cos0xxyydyeydx2、11sec232xyxdxdyyx三、若可微函数f(x)满足关系式dttfxfx0)()(，证明：f(x)0102四、设duufxxfx0)()(，f(x)为可微函数，求f(x)五、一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点所平分，求这曲线方程。六、质量为1克的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动速度成反比，在t=10秒时速度为50厘米/秒，外力为4厘米/秒2，问从运动开始一分钟后速度是多少？103练习三一、求下列齐次方程通解1、xyydxdyxln2、yxyxy二、求下列齐次方程满足所给条件的特解1、eyyxdxdyxyx21222、10)(122xydxyxydyx三、求微分方程11yxyxdxdy的通解（提示：令t=x+1）104四、设有连接点O（0，0）和A（1，1）的一段向上凸的曲线弧OA，对于OA上任一点P(x,y),曲线弧OP与直线段OP所围城图形面积为x2，求曲线弧OA的方程。五、用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后写出通解。1、2)(yxdxdy2、xy+y=y(lnx+lny)七、证形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的微分方程，可经变量代换v=xy化为可分离变量的方程，并求其通解。105练习四一、求下列微分方程的通解1、)0(02)(2xxdydxxy2、yeyxydxdy33、233xxyyx4、0)ln(lndyyxydxy二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解1、452cosxxyeyctgxdxdy2、0132132xyyxxdxdy三、已知1)(f，曲线积分dyxfdxxyxfxBA)()]([sin与路径无关，求函数f(x)106四、求一曲线的方程，此曲线通过原点，并且它在点（x，y）处的切线斜率等于2x+y五、设质量为m的物体在空中由静止而下落，空气对物体运动的阻力与速度成正比，求此物体下落的速率v与时间t的关系，再求物体下落的距离s与时间t的关系。六、求下列贝努里方程的通解1、212121yxyxy2、0ln2xyyyx107练习五一、求下列微分方程的通解1、0)2(dyyxedxeyy2、0)()(2dyyxdxyx3、0sinsin)coscos(yxyyxyx二、利用观察法求下列方程的积分因子，并求其通解1、dydxdydxyx))((2、02xdxyxdyydx108三、设(x)具有连续的导数，且(0)=－2，试确定(x)，使0)(])(2[sindyxydxtgxxx是全微分方程，并求此全微分方程的通解。四、的方法求微分方程xyxxdxdy132通解109练习六一、求下列微分方程的通解1、xxysin2、yyyxln3、2)(1yy4、yyyy2二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解1、0101113xxyyyy2、100002xxyyyay三、试求xy的经过点M（0，1）且在此点与直线12xy相切的积分曲线。110四、设函数f(x)在x0内二阶导函数连续且f（1）=2，又0)()()(12dtttfxxfxfx，求f(x)五、试证：任意点处的曲率是非零常数k的曲线方程是222211)()(kcycx111练习七一、验证xycos1及xysin2都是方程02yy的解，并写出该方程的通解。二、验证21xey及22xxey都是方程0)24(42yxyxy的解，并写出该方程的通解。三、证明函数212221,(lnccxxcxcy为任意常数）是方程0432yyxyx的通解。112四、设)(1xy，)(2xy，)(3xy均为方程)()()(xfyxqyxpy的特解（其中p(x),q(x),f(x)为已知函数），且1312yyyy常数，求证：)()()()1()(3221121xycxycxyccxy为方程通解。（c1,c2任意常数）113练习八一、填空题1、微分方程04yy的通解为___________________2、微分方程09622ydxdydxyd的通解为3、微分方程0136yyy的通解为二、求下列微分方程的通解1、022222233yadxdyadxyddxyd2、0)4(yy3、0222mydxdydxyd三、下列微分方程满足所给初始条件的特解1、0,204400xxyyyyy2、3,0013400xxyyyyy114四、方程09yy的一条积分曲线通过点M（π，－1），且在该点与直线y+1=x－π相切，求此曲线。五、已知某二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解为mxey，对应特征方程的判别式等于零，求此方程满足初始条件1,100xxyy的特解。六、求微分方程0yy，满足下列两条件的积分曲线。（1）、该积分曲线在原点有拐点。（2）、该积分曲线在原点处以直线y=2x为切线。七、设函数y=y(x)满足条件4)0(,2)0(044yyyyy，求广义积分dxxy0)(八、求以y=cos2x+sin2x为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程。115练习九一、选择题a)微分方程xxyy2cossin的一个特解应具有形式（a,b,c，d为常数）（）（A）asinx+bcosx+ccos2x；(B)x(asinx+bcosx)+ccos2x+dsin2x；（c）asinx+bcos2x+csin2x；(D)axsinx+bxcos2x.b)微分方程1xeyy的一个特解应具有形式（a,b为常数）（）（A）baex(B)baxex（c）bxaex(D)bxaxex二、求下列个微分方程通解1、xxeyyy22、xyyysin673、125522xxyy4、xyy2sin三、求微分方程1,1,02sinxxyyxyy的特解。116四、设xxdttfxdtttfxxf00)()(sin)(，其中f(x)为可微函数，求f(x)五、设微分方程xeyyy的一个特解为xxexey)1(2，试确定α，β，γ，并求该方程的通解。117复习题一、选择题1、设y=f(x)是满足微分方程0sinxeyy的解，且0)(0xf，则f(x)在（A）x0的某个邻域内单增；（B）x0的某个邻域内单减；(C)处取得极小值；(D)处取得极大值.2、设线性无关的函数)(1xy，)(2xy，)(3xy都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxqyxpy的解，c1,c2时任意常数，则该方程的通解是：（A）c1y1+c2y2+y3；（B）c1y1+c2y2－(c1+c2)y3；(C)c1y1+c2y2－(1－c1－c2)y3；(D)c1y1+c2y2+(1－c1－c2)y3.3、xxyysin)4(的特解形式是：（A）y=Ax+B+Csinx；（B）y=x(Ax+B)+x(Ccosx+Dsinx)；(C)y=Ax3+Bx2+Ccosx+Dsinx；(D)y=x2(Ax+B)+x(Ccosx+Dsinx).二、计算下列各题1、在xoy面上有一条曲线，通过点（1，21），曲线与y=0,x=1,及x=a所围成的曲边梯形的面积等于曲线在x=a的对应点处的横坐标与纵坐标之比，求此曲线方程。2、求微分方程xyaysin2的通解（a0）（提示：讨论a=1,a≠1）.1183、设函数y=y(x)满足微分方程xeyyy223，且其图形在点（0，1）处的切线与曲线y=x2－x+1在该点的切线重合，求f(x).4、设y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+ex都是微分方程)1(6)1(2)2()2(22xyxyxyxx的解，试求其通解。三、已知0)(32yexyy若将x看成是因变量，y看成是自变量，则方程化为什么形式？并求此方程通解。119四、设xtgxxf22sin)2(cos，求f(x)五、曲线y=f(x)(f(x)0,f(0)=0)围成一以[0，x]为底边的曲边梯形，其面积与f(x)的n+1次幂成正比，已知f(1)=1，求此曲线。六、一质点的加速度为a=5cos2t－9t1、若该质点在原点处由静止出发，求其运动方程及此质点离原点时所达到的最大距离。2、若该质点由原点出发时，其速度为v=6，求其运动方程。120七、确定f(x)，使dyxfydxxfnnxeIyxnx)()](1)1([),()0,0(与路径无关，设f(0)=0，计算此曲线积分。121自测题一、选择题：（每小题4分，共12分）1、微分方程xxeyyy396的特解应具有形式：（）（A）(Ax+B)e3x；（B）x(Ax+B)e3x；(C)x2(Ax+B)e3x；(D)Ax3e3x.2、若连续函数f(x)满足关系式f(x)=2ln)2(20dttfx则f(x)等于：（）（A）exln2；（B）e2xln2；(C)ex+ln2；(D)e2x+ln2.3、设y=f(x)是方程042yyy的一个解，若f(x0)0，且0)(0xf，则函数f(x)在点x0（）（A）取得极大值；（B）取得极小值；(C)某邻域内单调增加；(D)某邻域内单调减少。二、填空题：（每小题6分，共24分）1、微分方程xytgxycos的通解为2、以λ1=λ2=2为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是3、以ex,exsinx,excosx为特解的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是4、设二阶线性非齐次微分方程的三个特解为y1=x,y2=x+sinx,y3=x+cosx,则该方程的通解为三、（6分）求一微分方程使其通解为321cxcxcy，（c1,c2,c3是任意常数，x+c≠0）.四、判别下列方程类型，并求其通解（每小题6分，共18分）1、求yxxyydxdy321的通解1222、求(ylnx-2)ydx=xdy的通解3、求01522233dxdydxyddxyd的通解五、（10分）设曲线积分ydyxfydxexfLxcos)