第六讲不等式性质及证明

第六讲不等式性质及证明一、知识整合：1．不等式的性质比较两实数大小的方法——求差比较法0abab；0abab；0abab。定理1：若ab，则ba；若ba，则ab．即abba。说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。定理2：若ab，且bc，则ac。说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性。定理3：若ab，则acbc。说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；（2）定理3的证明相当于比较ac与bc的大小，采用的是求差比较法；（3）定理3的逆命题也成立；（4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。定理3推论：若,,abcdacbd且则。说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式。定理4．如果ba且0c，那么bcac；如果ba且0c，那么bcac。推论1：如果0ba且0dc，那么bdac。说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；（3）推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。推论2：如果0ba，那么nnba)1(nNn且。定理5：如果0ba，那么nnba)1(nNn且。2．基本不等式定理1：如果Rba,，那么abba222（当且仅当ba时取“”）。说明：（1）指出定理适用范围：Rba,；（2）强调取“”的条件ba。定理2：如果ba,是正数，那么abba2（当且仅当ba时取“=”）说明：（1）这个定理适用的范围：,abR；（2）我们称baba,2为的算术平均数，称baab,为的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。3．常用的证明不等式的方法（1）比较法（2）综合法（3）分析法4、不等式的综合运用（1）不等式中恒成立问题的求解解答不等式恒成立问题的基本思想是借助函数思想，通过不同的角度构造函数，借助函数图象或利用判别式来解决。（2）分离参变量通过等价变形，将变量与参数量从整体式中分离出来，转化为xf（或,,）a恒成立问题。1若xf在定义域内存在最大值m，则axfaxf恒成立mama；2若xf在定义域内存在最小值m，则axfaxf恒成立mama；3若xf在定义域内不存在最值，只需找到xf在定义域内上的最大上界（或最小下界）m，即xf在定义域内上增大（或减小）时无限接近但永远取不到的那个值，来替代上述两种情况下的m，只是等号均不可取到。（3）构造函数解不等式函数与不等式有密不可分的联系，在不等式问题中，应重视以函数为桥梁，根据实际问题构造函数，用函数思想与函数方法分析、解决问题。函数性质的研究依赖于不等式及相关知识，如求定义域实质上就是解不等式（组），函数单调性的证明归根结底就是不等式的证明等；另一方面，不等式等内容都可统一到函数思想下进行研究，如解不等式0xf或0xf就是求函数xf的正负区间，因此，用函数思想来处理这类问题，不仅会优化解题过程，而且会使我们迅速获得解题的途径。二．典例精析题型1：不等式性质例1．设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（A）||||||cbcaba（B）aaaa1122（C）21||baba（D）aaaa213题型2：基本不等式例2．（1）若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（2）若a＞b＞1，P＝balglg，Q＝21（lga＋lgb），R＝lg（2ba），则三者的大小关系为题型3：不等式的证明例3．已知a＞0，b＞0，且a+b=1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆求证新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆(a+a1)(b+b1)≥425。题型4：不等式的综合问题求解例4．求使yx≤ayx(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值。题型5：基本不等式的实际应用例5．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）?题型6：课标创新题例6．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列321)1()1(nnn的逆序数为an，如排列21的逆序数11a，排列321的逆序数63a。（1）求a4、a5，并写出an的表达式；（2）令nnnnnaaaab11，证明32221nbbbnn，n=1,2,…。三、重点题型强化1、设0ab,那么21()abab的最小值是2、已知0,0232yxyx，则xy的最小值是3、已知,1232yx且yx,均为正数，那么xy的最大值为4、函数2822xxxf的最小值是6、若yx,满足2434yx且1yx，则x+y的最小值是7、设,0,yx且1yxxy，则x+y的取值范围是8、当23x时，函数328xxy的最大值是10、设矩形ABCDBCAB的周长为24，把它沿对角线AC对折，折过去后，AB交DC于点P，设AB=x，求ADP的最大面积以及相应的x的值。11、某工厂建造一间地面面积为122m的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/2m，废物侧面的造价为800元/2m，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用，则建造此小房的最低总造价是多少元?12、设2,0，不等式4cos22324sin2222sinaa恒成立，求实数a的取值范围。