第30讲导数的综合应用(4)-曲线的交点和函数的零点

1第14讲导数的综合应用（3）—曲线的交点和函数的零点4.用导数探讨函数图象的交点或方程的根的个数曲线的交点和函数的零点的个数常常与函数的单调性与极值有关，解题时，还需要用图象帮助思考，而求函数的单调性与极值以及画函数的图象的有力工具就是导数.【例1】（2008江西卷，文）已知函数4322411043fxxaxaxaa（Ⅰ）求函数yfx的单调区间；（Ⅱ）若函数yfx的图象与直线1y恰有两个交点，求a的取值范围．【分析及解】（Ⅰ）令322220fxxxaxxxaxa，得12320xaxxa，，．在0a的已知条件下，fx及fx随x的变化情况列表如下：x2a，2a20a，00a，aa，fx000fx减极小值增极大值增极小值减所以fx的递增区间为20a,与a,，fx的递减区间为2,a与0a,．（Ⅱ）要研究函数yfx的图象与直线1y的交点的情况,就要考虑函数yfx的极大值和极小值相对于1y的位置.由（Ⅰ）得到4523fxfaa极小值，4712fxfaa极小值，40fxfa极大值，xyy=1-2aaOxyy=1-2aaO2由图可知，要使fx的图象与直线1y恰有两个交点，只需(1)两个极小值一个大于1且另一个小于1,即44571312aa;(2)极大值小于1,即41a，即4127a或01a．【例2】（2008湖南卷,文）已知函数4321942fxxxxcx有三个极值点．（Ⅰ）证明：275c；（Ⅱ）若存在实数c，使函数fx在区间2aa,上单调递减，求a的取值范围．【分析及解】（Ⅰ）因为函数4321942fxxxxcx有三个极值点，所以32390fxxxxc有三个互异的实根．令3239gxxxxc，则2369331gxxxxx，当3x时，0gx，gx在3,上为增函数；当31x时，0gx，所以,gx在31，上为减函数；当1x时，0gx,所以,gx在1，上为增函数；所以函数gx在3x时取极大值，在1x时取极小值．当30g时，或者10g时，0gx至多只有两个不同实根．要使0gx有三个不同实根，就必须使极大值30g且极小值10g．即32727270,11390.gcgc解得27,5.cc，故275c．（II）由（I）的证明可知，当275c时,()fx有三个极值点.不妨设为123xxx，，（123xxx），则123()()()().fxxxxxxx所以()fx的单调递减区间是1(]x，,23[,]xx.令32390fxxxxc,则32c39xxx,3由于275c,则3227395cxxx,即3232395,3927.xxxxxx整理得22(5)(1)0,(3)(3)0.xxxx解得53x且3,1xx.于是0fx的三个实数根123,,xxx,满足53x且3,1xx.从而13x,2331,13xx.若)(xf在区间,2aa上单调递减，则,2aa1(]x，,或,2aa23[,]xx,若,2aa1(]x，,则123ax,于是5.a若,2aa23[,]xx,则233,23.axax于是31.a故5,a或31.a反之,当5,a或31a时，总可找到(27,5),c使函数)(xf在区间,2aa上单调递减.综上所述,a的取值范围是(5)(3,1)，.【例3】（2008四川卷,理）已知3x是函数2()ln(1)10fxaxxx的一个极值点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；（Ⅲ）若直线yb与函数()yfx的图像有3个交点，求b的取值范围．【分析及解】（Ⅰ）因为()2101afxxx，所以(3)61004af．因此16a．当16a时,224323116()210111xxxxfxxxxx,由此可知,当1,3x时,()fx单调递减,当3,x时,()fx单调递增,所以,当x减区间减区间a+2a+2aax3x1x231-3-5416a时,3x是函数2()ln(1)10fxaxxx的一个极值点．于是,16a.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()16ln(1)10fxxxx，(1)x，，231()1xxfxx．当(11)(3)x，，时，()0fx，当(13)x，时，()0fx，所以()fx的单调增区间是(11)(3)，，，，()fx的单调减区间是(13)，．（Ⅲ）yb与yfx的图象有3个交点；等价于fxb有3个实数根；即0fxb有3个实数根；此时,函数fxb的图象与x轴有3个不同交点，令216ln110xfxbxxxb，则2131621011xxxxxx1x，令0x，解得1x或3x，x，x随x的变化情况列表如下：1为极大值,3为极小值.由表可得yx的示意图：为使yx图象与x轴有3个不同交点,必须yx的极大值大于零,极小值小于零.即1030，，可化为x11，113，33，x00x↗极大值↘极小值↗yx(3,32ln2-21-b)（1,16ln2-9-b)y=(x)3O1516ln29032ln2210bb，，解得16ln2932ln221bb，，∴32ln22116ln29b．【例4】（2008陕西卷文）设函数3222()1,()21,fxxaxaxgxaxx其中实数0a．（Ⅰ）若0a，求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）当函数()yfx与()ygx的图象只有一个公共点且()gx存在最小值时，记()gx的最小值为()ha，求()ha的值域；（Ⅲ）若()fx与()gx在区间(,2)aa内均为增函数，求a的取值范围．【分析及解】（Ⅰ）22()323()()3afxxaxaxxa，又0a，当3axax或时，()0fx；当3aax时，()0fx，()fx在(,)a和(,)3a内是增函数，在(,)3aa内是减函数．（Ⅱ）由题意知3222121xaxaxaxx，即22[(2)]0xxa恰有一根（含重根）．因为,一定有一根0x,所以,22(2)0xa没有实数根或有两个相等的实数根,因此有220a，即22a.又0a，[2,0)(0,2]a．当0a时，()gx才存在最小值，(0,2]a．211()()gxaxaaa，所以,1(),(0,2]haaaa．于是()ha的值域为2(,1]2．（Ⅲ）当0a时，()fx在(,)a和,3a内是增函数，()gx在1,a内是增函数．由题意得031aaaaa，解得1a；6当0a时，()fx在,3a和(,)a内是增函数，()gx在1,a内是增函数．由题意得02312aaaaa，解得3a；综上可知，实数a的取值范围为(,3][1,)．【例5】(2007年全国Ⅱ卷,理)已知函数3()fxxx．（Ⅰ）求曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程；（Ⅱ）设0a，如果过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，证明：()abfa．【分析及解】（Ⅰ）求函数()fx的导数；2()31xxf．曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程为：()()()yftftxt，即23(31)2ytxt．（Ⅱ）如果有一条切线过点()ab，，则存在t，使23(31)2btat．于是，若过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，则方程32230tatab有三个相异的实数根．记32()23gttatab，则2()66gttat6()tta．当t变化时，()()gtgt，变化情况如下表：由()gt的单调性，当极大值0ab或极小值()0bfa时，方程()0gt最多有一个实数根；当0ab时，解方程()0gt得302att，，即方程()0gt只有两个相异的实数根；当()0bfa时，解方程()0gt得2atta，，即方程()0gt只有两个相异的实数根．综上，如果过()ab，可作曲线()yfx三条切线，即()0gt有三个相异的实数根，则0()0.abbfa，即()abfa．t(0)，0(0)a，a()a，()gt00()gt增极大值减极小值增7【例6】(2006四川卷,文）已知函数331,5fxxaxgxfxax，其中'fx是的导函数.（Ⅰ）对满足11a的一切a的值，都有0gx，求实数x的取值范围；（Ⅱ）设2am，当实数m在什么范围内变化时，函数yfx的图象与直线3y只有一个公共点【分析及解】（Ⅰ）由题意2335gxxaxa.令2335hxxax，11a,对11a，恒有0gx，即0ha.∴10,10.hh即22320,380.xxxx解得213x.故2,13x时，对满足11a的一切a的值，都有0gx（Ⅱ）'2233fxxm①当0m时，31fxx的图象与直线3y只有一个公共点②当0m时，令32334,xfxxmx则2233xxm.列表：x,mm,mmm,mx00x增极大减极小增所以,2244xmmmmin.又因为fx的值域是R，且在,m上单调递增.所以,当xm时函数yx的图象与x轴只有一个公共点.当xm时，恒有maxxm,此时,yx的图象与x轴不能再有公共点,必须yx得极大值小于零,即0m,m3224240mmm,解得332,00,2m.综上，m的取值范围是332,2【例8】（2006福建卷，文）已知()fx是二次函数，不等式()0fx的解集是(0,5),且()fx在区间1,4上的最大值是12。（I）求()fx的解析式；8（II）是否存在自然数,m使得方程37()0fxx在区间(,1)mm内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.【分析及解】（I）因为()fx是二次函数，且()0fx的解集是(0,5),所以可设()(5)(0).fxaxxa由225255,1,424fxaxxaxax,因为在区间51,2上,函数()fx是减函数,在区间5,42上,函数(