线性代数第一章习题集

太原理工大学《线性代数》练习册（一）第1页一.判断题（正确打√，错误打×）1.n阶行列式ija的展开式中含有11a的项数为1n.(×)正确答案：)!1(n解答：方法1因为含有11a的项的一般形式是nnjjaaa2211，其中njjj32是1n级全排列的全体，所以共有)!1(n项.方法2由行列式展开定理nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnAaAaAa1121211111，而nnAaAa112121中不再含有11a，而11A共有)!1(n项，所以含有11a的项数是)!1(n.注意：含有任何元素ija的项数都是)!1(n.2.若n阶行列式ija中每行元素之和均为零，则ija等于零.(√)解答：将nnnnnnaaaaaaaaa212222111211中的n、、、32列都加到第一列，则行列式中有一列元素全为零，所以ija等于零.太原理工大学《线性代数》练习册（一）第2页3.332244114433221100000000abbaabbaababbaba.(√)解答：方法1按第一列展开332244114411414133224133224144332211)(00000000abbaabbaabbabbaaabbabbabbaaaababbaba.方法2交换2，4列，再交换2，4行223344114433221144332211000000000000000000000000abbaabbaabbaabbaababbaba=33224411abbaabba.方法3Laplace展开定理：设在n行列式D中任意取定了)11(nkk个行，由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。所以按2，3行展开323244332211)1(00000000ababbaba33224411abbaabba=33224411abbaabba.4.若n阶行列式ija满足ijijAa,nji，，,2,1,则0ija.(√)太原理工大学《线性代数》练习册（一）第3页解答：由行列式展开定理nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnAaAaAa1121211111021212211naaa.5.若n阶行列式ija的展开式中每一项都不为零,则0ija.(×)解答：反例如04221.二.单项选择题1.方程0881441221111132xxx的根为（B）.（A）3,2,1；（B）2,2,1；（C）2,1,0；（D）2,1,1.解答：（范德蒙行列式）0)2)(2)(1)(22)(12)(12(881441221111132xxxxxx，所以根为2,2,1.太原理工大学《线性代数》练习册（一）第4页2.已知aaaaaaaaaa333231232221131211,那么323133312221232112111311222aaaaaaaaaaaa（D）.（A）a；（B）a；(C)a2；（D）a2.解答：323133312221232112111311222aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa-22323331222321121311。3.已知齐次线性方程组0030zyzyxzyx仅有零解，则（A）.（A）0且1；（B）0或1；（C）0；（D）1.解答：因为0030zyzyxzyx仅有零解，所以02-21-02-20111-01-311）（，所以0且1.4.下列行列式中不一定等于n21的是（B）.（A）nnnaaa000221121；（B）nnnnnaaa2221000；太原理工大学《线性代数》练习册（一）第5页（C）nnnaaa212211000；（D）00000000000000121nn.解答：注意nnnnnaaa2221000=2)1()1(nnn21；而00000000000000121nn=nnn2111)1()1(=n21.5.n阶行列式ijaD展开式中项12,12,31,21nnnnnaaaaa的符号为(D).（A）-；（B）+；（C）2)1()1(nn；（D）2)1()1(nn.三.填空题1.已知方程组czyxbzyxazyx有唯一解,且1x,那么111111cba4.解答：系数行列式4112110110111111111D，而4111DDDx,所以41D,太原理工大学《线性代数》练习册（一）第6页所以41111111111111111111Dcbacbacba.2.已知4阶行列式中第3行的元素依次为-1，0，2，4，第4行的余子式依次为10，5,a,2则a9.解答：因为10280a，所以9a.3.若V为n阶范德蒙行列式,ijA是代数余子式，则njiijA1,V.解答：VVAAAAAnjiijnnjiij01,2112111,.4.5678901201140010300020001000120.解答：方法112056789012011400103000200010005541322314aaaaa.太原理工大学《线性代数》练习册（一）第7页方法212024501141030200-5120114010300200100055678901201140010300020001000.5.设xxxxxD111123111212，则D的展开式中3x的系数为-1.解答：D的展开式中有一项是344332112xaaaa.或者按第一行展开：11123112111231111131111112112111123111212xxxxxxxxxxxxxxxxD，由此可以看出3x的系数为-1.四.计算题1.已知4521011130112101D，计算44434241AAAA.解答：方法144434241AAAA1111011130112101太原理工大学《线性代数》练习册（一）第8页11111002011110112011011001131112001.方法2434241AAA00111011130112101，所以14444434241AAAAA.方法31172544434241AAAA.2.计算行列式211641501205142221162116415064030160501650212012051205601561514225201052103.计算行列式1322340922623383解答：128101-1201565-022312383313119043223123833262290432231太原理工大学《线性代数》练习册（一）第9页50754602515-01281-215651121281-2.4.计算行列式1111111111111111xxxx解答：（行和相等）11111111111111111111111111111111xxxxxxxx.00000001111000000011114xxxxxxxxxxxxxxx5.计算行列式ccbbaa1100110011001解答：11000100010001110010001000111001100100011100110011001cbaccbaccbbaccbbaa太原理工大学《线性代数》练习册（一）第10页6.计算行列式baaaaaabaaaaabannn321321321解答：（行和相等）baaaaabaaaaabbaaaaaabaaaaabannnniinnn3232321321321321111)（.)0000001)11321nniinniibabbbaaaab（（7.计算行列式n222232222222221.解答：当2n时：22221；当2n时：22-ii行，行得到)!.2(22-000010022220001-222232222222221nnn太原理工大学《线性代数》练习册（一）第11页五．证明题1.设1121()12321343xxfxxxxx，证明：存在(0,1),使得()0f.证明：因为111(0)1220133f，101(1)1110121f，所以(0)(1)ff，而()fx在[0,1]上连续，在(0,1)可导，所以由Rolle定理知存在(0,1),使得()0f.2.证明当1时，行列式074717171616361615151525141414141.证明：0.3-11013-10113-0111084013-11113-11113-11113-8401747171716163616151515251414141413.333111,,00abcabcabcabc设是互异的实数，证明的充分必要条件是.太原理工大学《线性代数》练习册（一）第12页证明：方法一设222233331111()abcxfxabcxabcx，将其按第4例展开得到2314243444()fxAAxAxAx，由于()()()0fafbfc，且,,abc是互异的实数，由方程根与系数的关系知3444AabcA，而44()()()Acbcaba，于是34333111abcMabc()()()cbcabaabc，所以33311100abcabcabc的充分必要条件是.注，该方法具有一般性，利用它可以证明12322221231122221231231111()()nnnijiijinnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxx.太原理工大学《线性代数》练习册（一）第13页方法二333333333333222222222211110011()()()()()()()()()(){()()()}()()()()bacaabcabacabacaabcabacabacaaabbaaccbacaaaccaabbbacaaccabbbacaacbcbcbbacacbabc太原理工大学《线性代数》练习册（一）第14页六.000iiiiaxbyczdixy求四个平面=0(=1,2,3,4)相交于一点(,,z)的充要条件.解答想法：三个平面相交于一点，第四个平面过该点：方程组111122223333axbyczdaxbyczdaxbyczd=0=0=0有唯一解000xy(,,z)，当且仅当1112223330abcabcabc，第四个平面过000xy(,,z)点当且仅当4040404axbyczd=0，所以3124444DDDabcdDDD=0，