(初稿)三重积分计算方法小结

江西师范大学10届学士学位毕业论文江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文三重积分的计算方法小结MethodsofCalculationofTripleIntegral姓名：蒋晓颖学号：1007012048学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：蒋新荣（副教授）完成时间：2014年1月23日江西师范大学10届学士学位毕业论文I三重积分的计算方法小结蒋晓颖【摘要】三重积分的计算是数学分析中的难点，本文结合教材以及相关资料较全面地给出了三重积分计算中的四种处理方法。第一，利用降低三重积分重数的思想，将其化为累次积分；第二，采用坐标变换的方法，将积分体表示成适当的形式；第三，充分运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，简化计算；第四，利用高斯公式将三重积分的计算转化成曲面积分计算。希望这几种方法能对学习者具有一定的指导意义。【关键词】三重积分累次积分坐标变换对称性高斯公式江西师范大学10届学士学位毕业论文IIMethodsofCalculationofTripleIntegralJiangXiaoying【Abstract】ThecalculationoftripleintegralisthedifficultyinMathematicsanalysis．Inthispaper，unifyingtheteachingandrelatedmaterials，wegivefourinstructivemethodsofthecalculationoftripleintegralforlearner．Thefourmethodsareasfollows：thefirst，lowerthemultiplicityoftripleintegralandreplaceitwithiteratedintegral；thesecond，withthemethodofcoordinatealternate，wecantransformtheintegralvolumeintoappropriateform；thethird，fullyusetheparityofintegrandandsymmetryofintegralareatosimplifycalculation；finally，wecancalculatethetripleintegralwiththeGaussformulathatcouldtransformtripleintegralintoasurfaceintegral．【Keywords】tripleintegraliteratedintegralcoordinatealternatesymmetryGaussformula江西师范大学10届学士学位毕业论文III目录1引言············································································12三重积分的概念和性质····················································12.1三重积分的概念·························································12.2三重积分的性质·························································23三重积分的计算方法·······················································33.1化三重积分为累次积分················································33.1.1投影法································································33.1.2截面法································································43.1.3三重积分化为累次积分的应用··································43.2三重积分换元法·························································73.2.1一般坐标变换·······················································73.2.2柱面坐标变换·······················································73.2.3球面坐标变换·······················································73.2.4三重积分坐标变换的应用········································83.3利用奇偶性和对称性计算三重积分·······························103.3.1积分区域关于某平面对称的情形·····························103.3.2积分区域关于积分变换轮换对称的情形····················143.3.3三重积分对称性的应用·········································143.4利用曲面积分计算三重积分········································154小结··········································································19参考文献·······································································20江西师范大学10届学士学位毕业论文11引言三重积分的计算是初学者的一个难点．计算三重积分即要将它化成累次积分，教材中给出了计算公式、换元法和定限法，但要具体地实现这一点，既要有较强的几何直观能力，以便于将积分体表示成适当的形式，又需要灵活的选择计算公式和方法，以便于计算．其中的方法和技巧学生难以把握，为了更快更好地培养学习者在这方面的能力，本文总结出三重积分计算中的若干处理方法．2三重积分的概念和性质2.1三重积分的概念类似于第一型曲线积分，求一个空间立体V的质量M就可导出三重积分．设密度函数为(x,y,z)f，为了求V的质量，我们把V分割成n个小块V1，V2，…,Vn，在每个小块Vi上任取一点(,,)iii，则01lim(,,),niiiiTiMfV其中iV为小块iV的体积，1maxiinTV的直径．设(x,y,z)f是定义在三维空间可求体积的有界区域V上的有界函数．现用若干光滑曲面所组成的曲面网T来分割V，它把V分成n个小区域V1，V2，…,Vn，记Vi的体积为iV（i=1,2,…,n），1maxiinTV的直径．在每个Vi中任取一点(,,)iii，作积分和1(,,)niiiiifV．定义：设(x,y,z)f为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V上的函数，J是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某一个正数，使得对于V的任何分割T，只要T，属于分割T的所有积分和都有1(,,)niiiifJ，则称(x,y,z)f在V上可积，数J称为函数(x,y,z)f在V上的三重积分，记作(,,)(,,)dxdydzVVJfxyzdVJfxyz或江西师范大学10届学士学位毕业论文2其中(x,y,z)f称为被积函数，x,y,z称为积分变量，V称为积分区域．当(x,y,z)f≡1时，VdV在几何上表示V的体积．2.2三重积分的性质三重积分具有与二重积分相应的有关性质．类似于二重积分，有１、若(x,y,z)f在区域上可积，k为常数，则(,,z)kfxy在上也可积，且(,,)(,,).kfxyzdVkfxyzdV２、若(x,y,z)f，g(x,y,z)在区域上可积，则(x,y,z)(x,y,z)fg在上也可积，且(,,)(,,)(,,)(,,).fxyzgxyzdVfxyzdVgxyzdV３、若(x,y,z)f在12和上都可积，且12和无公共内点，则(x,y,z)f在12上也可积，且1212(,,)(,,z)d(,,z)dfxyzdVfxyVfxyV４、若(x,y,z)f，g(x,y,z)在区域上可积，且(x,y,z)(x,y,z)fg，(,,)xyz，则(,,)g(,,).fxyzdVxyzdV　５、若(x,y,z)f在区域上可积，则(x,y,z)f在上也可积且(,,)(,,)fxyzdVfxyzdV．６、若(x,y,z)f在区域上可积，且(,,),mfxyzM(,,),xyz则(,,),mVfxyzdVMV这里V是积分区域的的体积．７、（中值定理）若(x,y,z)f在有界区域上连续，则存在,,，使得(,,)(,,)fxyzdVfV，这里V是积分区域的体积．江西师范大学10届学士学位毕业论文33三重积分的计算方法3.1化三重积分为累次积分3.1.1设想将积分区域缩为平面区域（投影法）定理1﹑若函数(x,y,z)f在长方体,,,Vabcdeh上的三重积分存在，且对任意(,),,,xyabcdeh，(,)(,,)hcgxyfxyzdz存在，则积分(,)Dgxydxdy也存在，且(,,)dxdydz(,,).hcVDfxyzdxdyfxyzdz（1）证用平行于坐标轴的直线做分割T,它把V分成有限多个小长方体111,,,.ijkiijjkkVxxyyzz设,ijkijkMm分别是(x,y,z)f在ijkV上的上确界和下确界．对任意11,,,ijiijjxxyy，1(,,)kkzijkkijijkkzmzfzdzMzx．现按下标k相加，有1(,,)(,,)(,)kkxhiiiiiixckfzdzfzdzg以及,,,,,(,)ijkijkijijijkijkijkijijkmxyzgxyMxyz．（2）上述不等式两边是分割T的下和与上和．由(x,y,z)f在V上可积，当0T时，下和与上和具有相同的极限，所以由（2）式得(,)gxy在D上的连续函数，函数(,,)fxyz在V上的三重积分存在，且对任意(,)xyD，21(,)(,)(x,y)(,,z)dzzxyzxyGfxy．亦存在，则积分(,)DGxydxdy存在，且21(,)(,)(,,)(,)(,,z)dzzxyzxyVDDfxyzdxdydzGxydxdydxdyfxy（3）江西师范大学10届学士学位毕业论文4证定义0(,,),,,,(,,)0,,\,fxyzxyzVFxyzxyzVV其中0,,,Vabcdeh，对(,,)Fxyz应用定理1，则有021,,(,)(,)(,,)(,,),,(,,).VVheabcdzxyzxyDfxyzdxdydzFxyzdxdydzdxdyFxyzdzdxdyfxyzdz