[考研数学]概率论与数理统计复习题及参考答案

，概率论与数理统计习题一、单项选择题1．设A与B互为对立事件，且P（A）0，P（B）0，则下列各式中错误．．的是（）A．0)|(BAPB．P（B|A）=0C．P（AB）=0D．P（A∪B）=12．设A，B为两个随机事件，且P（AB）0，则P（A|AB）=（）A．P（A）B．P（AB）C．P（A|B）D．13．设随机变量X在区间[2，4]上服从均匀分布，则P{2X3}=（）A．P{3.5X4.5}B．P{1.5X2.5}C．P{2.5X3.5}D．P{4.5X5.5}4．设随机变量X的概率密度为f(x)=,1,0;1,2xxxc则常数c等于（）A．-1B．21C．21D．15．设二维随机变量（X，Y）的分布律为YX01200.10.2010.30.10.120.100.1则P{X=Y}=（）A．0.3B．0.5C．0.7D．0.86．设随机变量X服从参数为2的指数分布，则下列各项中正确的是（）A．E（X）=0.5，D（X）=0.25B．E（X）=2，D（X）=2C．E（X）=0.5，D（X）=0.5D．E（X）=2，D（X）=47．设随机变量X服从参数为3的泊松分布，Y~B（8，31），且X，Y相互独立，则D（X-3Y-4）=（）A．-13B．15C．19D．238．已知D（X）=1，D（Y）=25，ρXY=0.4，则D（X-Y）=（）A．6B．22C．30D．469．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（）A．在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率B．在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率C．在H0成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率D．在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率10．设总体X服从[0，2θ]上的均匀分布（θ0），x1,x2,…,xn是来自该总体的样本，x为样本均值，则θ的矩估计ˆ=（）A．x2B．xC．2xD．x211A2.D3.C4.D5.A6.A7.C8.B9.C10.B二、填空题11．设事件A与B互不相容，P（A）=0.2，P（B）=0.3，则P（BA）=____________.12．一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为____________.13．甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.4，0.5，则飞机至少被击中一炮的概率为____________.14．20件产品中，有2件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，则第二次取到的是正品的概率为____________.15．设随机变量X~N（1，4），已知标准正态分布函数值Φ（1）=0.8413，为使P{Xa}0.8413，则常数a____________.16．抛一枚均匀硬币5次，记正面向上的次数为X，则P{X≥1}=____________.17．随机变量X的所有可能取值为0和x，且P{X=0}=0.3，E（X）=1，则x=____________.18．设随机变量X的分布律为则D（X）=____________.19．设随机变量X服从参数为3的指数分布，则D（2X+1）=____________.20．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)=,,0;10,10,1其他yx则P{X≤21}=____________.21．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为,,0;0,0,),()(其他yxeyxfyx则当y0时，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY(y)=____________.25．设总体X~N（μ,σ2）,x1,x2,x3为来自X的样本，则当常数a=____________时，3212141ˆxaxx是未知参数μ的无偏估计.11.0.512.351813.0.714.0.915.316.323117.71018.119.9420.2121.ye25.41三、计算题26．设二维随机变量（X，Y）的分布律为试问：X与Y是否相互独立？为什么？26．Y12P3132YX121919229294X12P3132X-1012P0.10.20.30.4，因为对一切i,j有}{}P{},P{jijiYYPXXYYXX所以X，Y独立。27．假设某校考生数学成绩服从正态分布，随机抽取25位考生的数学成绩，算得平均成绩61x分，标准差s=15分.若在显著性水平0.05下是否可以认为全体考生的数学平均成绩为70分？（附：t0.025(24)=2.0639）解：H0:700，H1:……ns/x～t(n-1),n=25,0639.2)24()1(025.02tnt0639.23325/157061s/xn,拒绝该假设，不可以认为全体考生的数学平均成绩为70分。28．司机通过某高速路收费站等候的时间X（单位：分钟）服从参数为λ=51的指数分布.（1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p；（2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.解：(1)f(x)=0,00,e51x51xxP{X10}=21010515151eedxexx(2)P{Y≥1}=1-)0(P2=1-422202022)1()(eeeeC29．设随机变量X的概率密度为.,0;20,2)(其他xxxf试求：（1）E（X），D（X）；（2）D（2-3X）；（3）P{0X1}.解：(1)E(X)=dxxxf)(=202xxdx=34)(E2X=dxxfx)(2=2022xxdx=2D(X)=)(E2X-2)]([XE=2-2)34(=92（2）D(2-3x)=D(-3x)=9D(X)=992=2(3)P{0x1}=1010412)(dxxdxxf30．已知男子中有5%是色盲患者，女子中有0.25%是色盲患者，若从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解设A={抽到一名男性}；B={抽到一名女性}；C={抽到一名色盲患者}，由全概率公式得11()(|)()(|)()5%0.25%2.625%22PCPCAPAPCBPB1()()(|)5%2.5%2PACPAPCA由贝叶斯公式得()20(|)()21PACPACPC31.某保险公司对一种电视机进行保险，现有9000个用户，各购得此种电视机一台，在保险期内，这种电视机的损坏率为0.001，参加保险的客户每户交付保险费5元，电视机损坏时可向保险公司领取2000元，求保险公司在投保期内:（１）亏本的概率；（２）获利不少于10000元的概率。解101,2,,9000iiii第台电视机坏设＝第台电视机正常9000900011{1}0.001{0}0.9990.0010.00099999iiiiiiiiPPEDED保险公司亏，则电视机坏的台数:9000*5/2000=22.59000900090001190001122.5922.51(4.5)09iiiiiiiiEPPD保险公司获利不少于10000元，则电视机坏的台数:(9000*5-10000)/2000=17.59000900090001190001117.5917.5(2.83)9(3)(2)(2)(2.832)0.97720.021450.830.99532iiiiiiiiEPPD一填空题1．甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，则目标被击中的概率为（）.2．设()0.3,()0.6PAPAB，则()PAB().3．设随机变量X的分布函数为2,120,sin0,0)(xxxaxxF，则a（），()6PX（）.4．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则)1(2XE().5．若随机变量X的概率密度为2361()6xXpxe，则(2)DX（）6．设YX与相互独立同服从区间(1,6)上的均匀分布，)3),(max(YXP（）.7．设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为XY12ip0a12161131b则(),().ab8．设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为其它00,0),(2yxaeyxfyx，则a（）9．若随机变量X与Y满足关系23XY，则X与Y的相关系数XY（）.1．0.94；2．()PBA0.3；3．11,()62aPX；4．2(1)5EX；5．则(2)18DX；6．21(max(,)3)25PXY；7．11,122ab；8．2a；9．1XY；二．选择题1．设当事件CB和同时发生时事件A也发生，则有（）.)()()(1)()()()(1)()()()()()()(CBPAPdCPBPAPcCPBPAPbBCPAPa2．假设事件BA和满足1)|(BAP，则（）.(a)B是必然事件（b）0)(ABP(c)BA(d)0)|(BAP3．下列函数不是随机变量密度函数的是().(a)sin0()20xxpx，，其它(b)其它0102)(xxxp(c)sin0()0xxpx，，其它(d)其它0103)(2xxxp4．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则概率)(EXXP（）.112211()()2()()222aebecede5．若二维随机变量（X,Y）在区域{(,)/01,01}Dxyxy内服从均匀分布，则1()2PXYX=（）.111()1()()()428abcd1．()b2．()b3．(c)4．()d5．()b三、解答题1.某工厂有甲、乙、丙三车间，它们生产同一种产品，其产量之比为5：3：2,已知三车间的正品率分别为0.95,0.96,0.98.现从全厂三个车间生产的产品中任取一件，求取到一件次品的概率。解设(1,2,3)iAi分别表示取到的产品由甲、乙、丙生产，且设B表示取到一件次品，则由全概率公式31()()(|)0.50.05+0.30.040.20.020.041iiiPBPAPBA3．设随机变量X的密度函数为(1)01()0Axxfx其他.（1）求参数A；（2）求X的分布函数()Fx；（2）求1()3PX.解（1）2A；（2）200()20111xFxxxxx（3）11214()1()1()33399PXF8某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为2的泊松分布。若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的。求一年中售出700辆以上汽车的概率。（附：(1)0.8413,(1.11)0.8665,(2)0.9772,(2.23)0.9871）8．解设Y表示售出的汽车数，由中心极限定理，可得700730(700)1(700)1()7301(1.11)0.8665PYPY一.选择题1.如果1)()(BPAP，则事件A与B必定（）)(A独立；)(B不独立；)(C相容；)(D不相容.2.已知人的血型为O、A、B、AB的概率分别是0.4；0.3；0.2；0.1。现任选4人，则4人血型全不相同的概率为：（）)(A0.0024；)(B40024.0；)(C0.24；)(D224.0.5.设321,,