第三部分建模与应用

165第三部分数学建模与应用第一节建立数学模型随着科学技术的迅速发展，数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中。对于广大的科学技术人员和应用数学工作者来说，建立数学模型是沟通摆在面前的赫斯基问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。现在来充分认识数学模型。1.1从现实对象到数学模型原型与模型原型（Prototype）指人们在现实世界里所关心、研究或从事生产、管理的实际对象。比如我们通常说的机械系统,电力系统,生态系统,生命系统、社会经济系统，又如化学反应系统,污染扩散过程,生产销售过程,计划决策过程等,它是数学建模研究的对象。模型指人们为了某个特定的目的而将原型的某些信息精简压缩,加以提炼而构造的原型的替代物。需要强调的是,模型不是原型的原封不动的复制,原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次，它实际上只是原型某些方面和某些层次的近似表示。同一个原型,为了不同的目的,可以有许多不同的模型。每个模型的特征是由构造模型的目的决定的。模型可以分成形象模型和抽象模型。形象模型包括直观模型,物理模型等;抽象模型包括数学模型等。物理模型通常指科技工作者为了某些目的，根据相似原理构造的模型,它不仅可以显示原型的外形或某些特征,而且可以用以进行摸拟实验,间接地研究原型的某些规律。比如风洞中的飞机模型用来实验飞机在气流中的空气动力学特性等。数学模型通常指运用数学的语言和工具,对部分现实世界的信息(现象﹑数据﹑图表等)加以翻译、归纳所形成的公式、图表等。数学模型经过演绎、求解以及推断,给出数学上的分析、预报,再经过翻译和解释,回到现实世界中。最后,这些推论或结果必须经受现实的检验,完成实践—理论—实践的循环。如果检验的结果是正确的或基本正确的,即可用于指导实践,否则,还要重新翻译、归纳,修正数学模型。建立数学模型通常简称为数学建模或建模。一般地说，数学模型可以描述位，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。1.2建模方法与建模步骤建立数学模型主要采用机理分析和统计分析两种方法。机理分析是指人们根据客观事物的特征,分析其内部机理,弄清其因果关系,并在适当的简化假设下,利用合理的数学工具得到描述事物特征的数学模型。166测试分析方法是指人们一时得不到事物的机理特征,通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。建立数学模型需要哪些步骤没有固定的模式,下面是按照一般情况,提出的一个建立模型的大体过程。模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用下面就这几个过程作一些简单的介绍：模型准备，首先要了解问题的实际背景,明确建模的目的,搜集建模必需的各种信息,比如实际现象,统计数据等,弄清楚实际对象的基本特征(事实上,由于实际问题的复杂性,以及认识的局限性,我们无法获得实际问题的全部信息),由此初步确定用哪一类模型。模型准备过程是非常必要的,事实上,这一步骤往往也是建模过程中最困难、最费时费力的,此步骤不仅需要查阅大量的资料,需要请教专家,而且还要求自己应具有相当的实际经验,这一步做得好,便会对问题有更透彻的了解,也会为以后几步带来极大的方便。模型假设，一般来说,我们无法将实际对象的所有影响因素都考虑到模型中,这就需要对问题进行必要的简化。简化的目的应是尽量少地考虑影响因素,尽量多地抓住问题的基本实质,通过假设,把各种影响因素的关系较精确地描述出来。假设包含两方面的内容:(1)影响因素(变量)的分类列出可能的影响因素,将其独立的变量与相互影响的变量按类分开,对于相互影响的变量应解释清楚其相互关系。有选择地忽略一些影响因素,这种忽略主要基于两个方面的考虑:（i）该变量与其它变量相比,对实际问题行为特征的影响较小；（ii）对于那些各种条件下,对实际问题行为特征的影响虽然比较大,但是影响程度的变化基本上是不变的。(2)确定所选变量的关系有些变量间的关系是明确的,我们勿需对此作假设或简化,有些变量间的关系是模糊的,对此类变量,为明确其关系,我们可以对它再作进一步的假设或简化,甚至为了研究这些变量的关系,我们还可以建立子模型。建立模型，根据所作的假设利用适当的数学工具,构成实际问题的数学描述,这里除了需要一些相关学科的专门知识外,还常常需要广阔的应用数学方面的知识开拓思路,除用到微积分、常微分方程、线性代数、概率论与数理统计等基础知识外,还用到诸如运筹与规划、排队论、图论、对策论等方面的知识。建模应遵循一个原则:尽管同一个研究对象可以利用多个学科的数学知识来建模,但应尽量采用简单的数学工具,以便更多的人了解和使用。模型的求解，可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学167方法，特别是数学软件和计算机技术。模型分析，对模型结果进行数学上的分析,给出定量或定性的结果,如有可能还应该给出数学上的预报、数学上的最优决策与控制方法。对结果进行误差分析、灵敏度分析及稳定性分析也是模型分析中必不可少的工作。模型检验，把数学模型的结果回放到实际对象,与实际对象的现象、数据进行比较,验证模型的可靠性以及适用性。如果不合理,需要对模型进行补充修正,如果模型的结果与实际现象、数据出入较大，则需要重新审视假设的合理性，重建模型。模型应用，经模型检验证明模型是可靠的或适用的后,模型即可以应用实际问题,用于评价、预测或指导工程实践。数学建模的全过程可以分为表述、求解、解释、验证四个阶段，通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环。表述过程(属于归纳法)即根据建模的目的和掌握的信息(数据﹑图表、描述)将研究的对象转化为数学问题,用数学语言(公式﹑图表﹑计算机语言等)明确地将这些信息表述出来,形成数学模型。求解过程(属于演绎法)即选用适当的数学方法(作图﹑计算机求解等)给出数学模型的解答,并用图表﹑公式、符号等给出结果,从数学上进行分析﹑预报,提供决策或控制方案。解释过程是指把数学语言(图表、公式、符号、计算机语言等)表述的结果转化或翻译回到现实对象,给出实际问题的答案。验证过程是指用实际对象的信息，检验从数学模型中得到的答案,以确认结果的正确性,若正确或基本正确,则用来指导实践,否则需要重新进行建模或修改模型。1.3数学模型的分类数学模型可以按照不同的方式分类,下面介绍几种常见的分类方法。(1)按照模型的应用领域或所属学科分类，如城镇规划模型﹑交通模型﹑数量经济学模型﹑生态学模型﹑水资源模型等。(2)按照建立模型的数学方法分类,如初等数学模型﹑几何模型﹑微分方程模型﹑统计回归模型、图论模型﹑线性规划模型﹑对策论模型等。本讲义采用的就是此类分法。(3)按照模型的表现特征又有几类分法:比如说确定性模型和随机性模型﹑静态模型和动态模型﹑离散模型和连续性模型﹑线性模型和非线性模型等。(4)按照建模的目的分类,有描述模型﹑分析模型﹑预报模型﹑优化模型﹑决策模型﹑控制模型等。(5)按照对模型结构的了解程度分类,有白箱模型﹑灰箱模型﹑黑箱模型。1.4建模示例例1交通事故调查168一辆汽车在拐弯时急刹车，结果冲到路边的沟里（见图1.1）。交警立即赶到事故现场。司机申辩说，当他进入弯道时刹车已失灵，他还一口咬定，进入弯道时其车速为40英里/小时(即该车限速的上限，相当于17.9米/秒），警察验车时证实该车的制动器在事故发生时的确失灵，然而司机所说的车速是否真实呢？现在让我们帮交警来计算一下司机所说的车速是否真实。根据数学建模的一般过程,事先需要提取研究对象足够多的信息,为此首先需要了解现场。下面是交警在现场获取的相关数据:表1.1刹车痕迹的测量值(米)X指刹车痕迹方向；Y指垂直X轴方向。经勘察还发现，该车并没有偏离它的行驶转弯方向，也就是说车头一直指向转弯曲线的切线方向。下面我们来帮交警建一个简单的数学模型，根据所给信息，可做如下假设：（1）该车的重心沿一个半径为r的圆做圆周运动（根据交通学原理，现有公路的弯道通常是按圆弧段设计的,需要检验）。（2）汽车速度v是常数（因刹车失灵，所以刹车不起作用）。（3）设摩擦力f作用在汽车速度的法线上，摩擦系数为常数k，汽车质量为m。根据牛顿运动学定律：/rmvkmgf2（1.1）由（1.1）式得kgrv（1.2）关于圆半径的估计:假设已知圆的弦长为c,弓形高度为h,则由勾股定理得X0369121516.6418212427Y01.192.152.823.283.533.553.543.312.892.22YXO169222)()2(hrcr,由表1.1得c≈33.27m,h≈3.55m,r≈40.75m.通常可以根据路面与汽车轮胎的情况测出摩擦系数的值,也可以通过交通部门获得,本例取28.175m/skg。代入(1.2)式得v=18.2m/s。此结果比司机所说的车速(17.9m/s)略大一些,但基本上可以认为司机所说的结果是可以接受的。事实上,我们还可以举出许多通过建立数学模型解决实际问题的例子。1.5数学建模能力的培养数学建模除了需要广博的知识（包括数学知识和各种实际知识）和足够的经验外，特别需要丰富的想象力和敏锐的洞察力。类比方法与理想化方法是建模中常用的方法，类比在一定程度上是靠想象进行的，如将交通流与水流类比来建立交通流模型。建模过程是一种创造性思维过程，除了形象思维（想象、洞察、判断）、逻辑思维之外，直觉与灵感往往也起着不可忽视的作用。对问题进行反复思考与探索，加上由不同专业人员之间的相互探讨，是激发直觉与灵感的重要因素（由各种专门人才组成的团队工作方式越来越受到重视）。总而言之，建模可以看成一门艺术，一名出色的艺术家需要大量的观摩和前辈的指教，更需要亲身的实践。掌握建模这门艺术，不外乎认真作好这样两条：第一，学习、分析、评价、改造别人作过的模型，首先是弄懂它，分析为什么这么作，然后找出它的优缺点，并尝试改进的方法；第二，要亲自动手，踏实地做几个实际题目。可以练习以下问题：1．从下列叙述中明确要研究的问题，要考虑哪些有重要影响的变量？(1)一家商场要建一个新的停车场，如何规划照明设施．(2)一农民要在—块土地上作出农作物的种植规划．(3)一制造商要确定某种产品的产量及定价．(4)卫生部门要确定一种新药对某种疾病的疗效(5)一滑雪场要进行山坡滑道和上山缆车的规划2．怎样解决下面的实际问题．包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等。(1)估计一个人体内血液的总量(2)为保险公司制定人寿保险金计划(不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额)(3)估计一批日光灯管的寿命．(4)确定火箭发射至最高点所需的时间。(5)决定十字路口黄灯亮的时间长度．(6)为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划。1703.为了培养想象力、洞察力、和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面和反面思考。试尽可能迅速的回答下面的问题。（1）某甲早8:00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5:00到达山顶并留宿。次日早8:00沿同一条路径下山，下午5:00回到旅店。某乙说，甲必在两天中同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？（2）甲乙两站有电车相通，每个十分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有十天到达乙站，问开往甲乙两站的电车经过并站的时刻表如何安排的。第二节初等模型如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，我们基本上可以用初等数学方法来构造和求解模型。2.1椅子能在不平的地面上放稳吗本问题来源于生活中一个普遍的事实：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而人们的经验是只要稍挪动几次，就可以了，那么一定能放稳吗？下面用数学语言证明一定可以放的稳.模型分析从椅子“稳”思考，认为只要四角同时着地就认为