第7次课第3章应力应变关系

3.1广义胡克定律3.2弹性常数之间的关系3.3弹性体的应变能函数第三章应力应变关系3.1广义胡克定律•应力应变关系属于材料的性能，称为物理方程或者本构方程•复杂应力状态的应力应变关系难以通过试验确定•单向拉伸与纯剪应力应变关系可以通过试验确定:波松比由试验确定εxεyσxxyxEσxxxExxE或单向应力状态的应力应变关系ττ纯剪应力状态的应力应变关系MnGG或G:剪切弹性模量2(1)EG22()1()1xxyyyyxE1()1()yxxxyyxyyxEEEEEEσyσx双向应力状态的应力应变关系1()1()2yxxxyyxyyxxyxyxyxyEEEEEEGG22()1()12xxyyyyxxyxyxyEGGσyσxτyxτxy平面应力状态的应力应变关系1[()]1[()]1[()]222yxzxxyzyxzyyxzyxzzzxyxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxEEEEEEEEEEEEGGGGGG一般应力状态的应力应变关系1(1)[(1)]1(1)[(1)]1(1)[(1)]xxxyxyyyyzyzzzzxzxEEEEEE112(1)2EGGE引入：xyz(体积应力)从正应力应变关系中可得到(1)(1)(1)xxyyzzEEE()211()211()211xxxyyyzzzEGEEGEEGE反过来有应力表达式则有体积应力与体积应变之间的关系3123EKK或式中K为材料常数，312EK为体积应变，xyz另一方面(1)(1)(1)xxyyzzEEE(1)-3(12)E将代入应力表达式有式中称为Lame常数31112(1)(12)EEK3K223211223211223211xxxxyyyyzzzzGGKGGGKGGGKG整理应力应变关系222xxxyyyzzzGGG222xyxyyzyzzxzxGGG3xyzkkm2ijkkijijG由上面的式子可以写出应力应变关系的张量表达弹性体变形过程的功与能•能量守恒是一个物理学重要原理，利用能量原理可以使得问题的分析得到简化•能量原理的推导是多样的，本节使用热力学原理推导。在不受外界影响的条件下，宏观性质不随时间变化的状态的称为平衡状态。如果宏观性质的变化足够缓慢，以致系统在每一瞬时都看作出于平衡状态，则称为准静态过程。每一步都能反向重演的过程称为可逆过程，否则称为不可逆过程。关于物质系统的几个简单概念:与外界交换能量（热量或机械功）和质量是导致系统状态发生变化的外部原因。与外界既无能量交换又无质量交换的系统称为孤立系统。与外界没有质量交换的系统称为封闭系统。dA热力学第一定律封闭系统中总能量的增量（包括动能增量和内能增量）等于外力对系统所做的功和系统从外界吸收的热量之和，也就是能量守恒定律：dK+dU=dA+dQdQdUdK若，则系统与外界无热交换，称为绝热过程，如系统的与外界有充分的热交换，则系统温度保持不变，称为等温过程。热力学第一定律阐明了热力学过程必须满足的能量关系。（动能和内能是状态量；外力功和供热量是过程量）dQ=0温度表示法绝对温标摄氏温标华氏温标KCtFtF其中15.273t热力学第二定律热力学第二定律中涉及一个重要的状态量：温度T与熵S熵是热力学系统的一个状态函数。熵的定义为：或，为系统从外界吸收的热量,T指外界的绝对温度。dS=dQ/TdQ用一个具体的实际热过程来描述热力学第二定律，可以有很多表述法，被大家普遍采用的所谓热力学第二定律的经典描述，是1850年由克劳修斯和1851年开尔文分别提出的：开氏描述：不可能从单一热源吸收热量，使之完全变为有用的功而不引起其它变化，即第二类永动机是不可能造成的。克劳修斯描述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化。热力学第二定律的经典描述：对于绝热过程dQ=0，dA-dK=dU物体的弹性变形过程是一个可逆过程，可逆过程可分解为多个绝热过程与等温过程。对于静态过程dK=0，则dA=dUiiiiVSdududAfdVTdSdtdtdtiiijijVSdudufdVldSdtdt,()iiiijjVVdudufdVdVdtdt,,()ijiijjiijVVfudVudVijjiVdUdVdt内能为物体的应变能，由()ijijVddUdVdtdt这样有：ijijW（2）则dWdWdijijijij得单位体积的应变能W()ijijijijWdW（1）对于等温过程dQ=T·dS=d(T·S)dA-dK=dU–dQ=d(U-T·S)=dFF=U-T·S物体系统的自由能ijijW()ijijijijWdW仍成立。因此，对于弹性过程，它是一个可逆过程，S=0对于静态过程dK=0，则dA=dF（2）应变能在数值上等于外力对物体所作的功，()ijijijijWdeese=ò()ijijijijW且（4）且应力与应变存在一一对应的函数关系。（3）应力与应变存在着函数关系;结论:（1）存在应变能函数ijijklklC对于取一阶近似：()ijij广义胡克定理——材料应力应变关系展开上式，对于ijklC11=1，22=2，33=3，23=4，13=5，12=61112132223331111111222133314231513161222211122222333242325132612333111322233333423351336122341114222433344234513461213511152225CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC33354235513561212611162226333642365136612CCCCCCCCC展开上式ijijklklC111213141516111121222324252622223132333435363333414243444546232351525354555613136162636465661212CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC写成矩阵的形式D22ijklijklklijklijWWsseeeeee¶¶抖==抖抖抖故有所以是对称的矩阵。ijklC即ijklklijCC=因为()()ijijijijWesee¶=¶ijklklC各向同性材料：完全各向同性正交各向异性材料：在3个坐标轴方向上对称各向异性材料：各个方向都不同性对于金属材料有：各向同性材料，正交各向异性材料，各向异性材料。存在十三个弹性常数具有一个对称面的材料：不同材料其弹性常数的简化x1x3x2ox1-x3x2ox3=-|x3|当x3=-|x3|时，u3=-|u3|有3321232323131313323122uuuuxxxxgeggeg抖抖==+=-==+=-抖抖为使不变，的系数须为零。()ijWe1323gg1111111222133316122221112222233326123331142315132423251334233513411142224311322233333612234423346125111522234513135CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC54235513126111622263336333561264236561213CCCCCCCCC存在十三个弹性常数具有一个对称面的材料：x1x3x2ox1-x3x2ox3=-|x3|存在十三个弹性常数具有一个对称面的材料：不同材料其弹性常数的简化x1x3x2ox1x3x2ox3=-|x3|1112131622232633364445556600000000CCCCCCCCCDCCCC相互垂直的三个平面中有两个弹性对称面，第三个必为弹性对称面正应力仅与正应变有关；切应力仅与对应的切应变有关。两个弹性对称面九个弹性常数111213222333445566000000000000CCCCCCDCCCx3x2ox1-x1-x3x2ox3=-|x3|x1=-|x1|•物理意义——物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。•数学反映——应力和应变关系在所有方位不同的坐标系中都一样。•金属材料——各向同性弹性体，是最常见的工程材料。•弹性力学主要讨论各向同性材料。各向同性弹性体各向同性弹性体本构方程,G称为拉梅（Lame）弹性常数各向同性材料广义胡克（Hooke）定律222xxxyyyzzzGGG222xyxyyzyzzxzxGGG3xyzkkm式中：根据正交各向异性本构关系1.各向同性材料沿x，y和z座标轴的的弹性性质相同；2.弹性性质与座标轴的任意变换方位也无关。222xxxyyyzzzGGG222xyxyyzyzzxzxGGG写成张量的形式2ijijijG应力表示的本构方程11[()][(1)]11[()][(1)]11[()][(1)]xyxxyzxxyyzyyxzyyzxzzzxyzxzEEGEEGEEGE:为弹性模量G:为剪切弹性模量μ:为横向变形系数——泊松比2(1)EG11[()][(1)]11[()][(1)]11[()][(1)]xyxxyzxxyyzyyxzyyzxzzzxyzxzEEGEEGEEG写成张量的形式322(32)2ijijijijmijGGGGE3.2弹性常数之间的关系两个独立的弹性常数2(1)EG(1)(12)E实验测定：单向拉伸实验可以测出弹性模量E薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量G主应力状态：对应的切应力分量均为零；所有的切应变分量也