求二次函数解析式的四种方法详解

1咨询热线：2306086求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。2、顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。4.对称点式：y=a(x－x1)(x－x2)+m(a≠0)求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x1、m)(x2、m),则设成：y=a(x－x1)(x－x2)+m(a≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a的值，再化成一般形式即可。探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)。解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)依题意得：145cbaccba解这个方程组得：432cba∴这个二次函数的解析式为y=2x2+3x－4。例2、已知抛物线cbxaxy2的顶点坐标为)1,4(，与y轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。分析：此题给出抛物线cbxaxy2的顶点坐标为)1,4(，最好抛开题目给出的cbxaxy2，重新设顶点式y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点。解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x－4)2－1(a≠0)又抛物线与y轴交于点)3,0(。2咨询热线：2306086∴a(0－4)2－1=3∴a=41∴这个二次函数的解析式为y=41(x－4)2－1，即y=41x2－2x+3。例3、如图，已知两点A（－8，0），（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C（0、4）。求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。分析：A、B两点实际上是抛物线与x轴的交点，所以可设交点式y=a(x－x1)(x－x)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。2解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x－2)例4、已知函数y=x2+kx－3（k0),图象的顶点为C并与x轴相交于两点A、B且AB=4（1）求实数k的值；（2）若P为上述抛物线上的一个动点（除点C外），求使S△ABC=S△ABP成立的点P的坐标。变式练习，创新发现1、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。）2、已知抛物线的顶点坐标为)1,2(，与y轴交于点)5,0(，求这条抛物线的解析式。2、已知二次函数yaxbxc2的图象的顶点为（1，92），且经过点（－2，0），求该二次函数的函数关系式。3、已知二次函数图象的对称轴是x=-3，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是(-1，0)，求这个二次函数的解析式。4、已知二次函数yaxbxc2的图象如图所示，则这个二次函数的关系式是________。5、已知：抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式6、已知二次函数ymxmxmm()()()123212≠的最大值是零，求此函数的解析式。7.已知某抛物线是由抛物线y=x2-x-2经过平移而得到的，且该抛物线经过点A（1，1），B（2，4），求其函数关系式。9、已知四点A（1，2），B（0，6），C（－2，20），D（－1，12），试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由。5、