试题七(线代方程组误差分析_数值积分)

考试课程数学实验2004.6.24下午班级姓名学号得分[说明]（1）第一、二、三题的答案直接填在试题纸上；（2）第四题将数学模型、简要解题过程和结果写在试题纸上；卷面空间不够时，请写在背面；（3）除非特别说明，所有计算结果小数点后保留4位数字。（4）考试时间为120分钟。一、（10分）已知一组数据x00.10.20.30.40.5y05.31.82.64.96.3用数值积分求x在（0,0.5）内y的积分为1.7750。根据表中数据，试建立2次多项式回归模型2210xxy，其回归系数为_______________,_____________,__________210。在显著性水平为0.05情况下有无异常数据（若有，请指出第几个点为异常数据）？第二个。数值积分：梯形公式：x=0:0.1:0.5;y=[05.31.82.64.96.3];S1=trapz(x,y)输出结果：S1=1.7750多项式回归：y=[05.31.82.64.96.3];x1=0:0.1:0.5;%切削时间x2=x1.^2;%刀具厚度n=6;%已知的数据容量T=[ones(n,1),x1',x2'];%1与自变量组成的输入矩阵[b,bint,r,rint,s]=regress(y',T);%回归分析程序(α=0.05)b,bint,s,rcoplot(r,rint)输出结果：b=1.48215.58216.6071二、(10分)已知常微分方程组初值问题0)0(,1)0(,0)sin('''yyexyyx，试用数值方法求)4.0(y__0.897893___(保留小数点后6位数字)。你用的方法是__龙格—库塔方法_，其精度为_四阶__。%待解常微分方程组函数M文件源程序：functiondy=ff(x,y)dy=[y(2);-y(1)*sin(x)-exp(x)];%应用欧拉方法和龙格-库塔方法求解该常微分方程：ts=0:0.1:0.4;y0=[1,0];[x,y]=ode45(@ff,ts,y0);%龙格-库塔方法求数值解[x,y(:,1)]输出结果：三、(10分)已知线性代数方程组Ax=b,其中25012151152622310710A,4321xxxxx,1558b,若方程组右端项有小扰动]1.0,0,0,0[b，试根据误差估计式估计22xx__0.06416__(保留小数点后5位数字)；若取初值]0,0,0,0[)0(x，则用高斯-赛德尔迭代法求解Ax=b时，)5(x_(1.07103,0.37900,-0.00072,-0.06084)__，此迭代是否收敛____是_______。线性代数方程组解的误差分析：1()xbbAAcondAxbb故其误差上限为：A=[10-701;-32262;5-151-1;21025];b=[8551];db=[0000.1];d=cond(A)*norm(db)/norm(b)输出结果：d=0.061460749095949A=[10-701;-32262;5-151-1;21025];D=diag(diag(A));%从稀疏矩阵A中提取DL=-tril(A,-1);%从稀疏矩阵A中提取LU=-triu(A,1);%从稀疏矩阵A中提取Ub=[8551]';%设定方程组右端项向量x=zeros(4,1);%设定方程组初始向量m=inv(D-L)*U;n=inv(D-L)*b;%高斯-赛德尔迭代法forj2=1:5y=m*(x(:,j2));fori=1:4x(i,j2+1)=y(i,:)+n(i,:);endendt2=x(:,end)%输出迭代法最终结果j2输出结果：t2=1.0710322336513530.378998741589479-0.000722946127134-0.060842528355687高斯-赛德尔迭代判敛法：1)若求收敛域,需要计算系数矩阵A的正定与对称性质；2)若仅仅判断收敛，直接计算迭代矩阵L的谱半径与义的大小关系；lamda=eig(inv(D-L)*U)pubanjing=max(abs(lamda))输出结果：pubanjing=0.218937948256270四、（20分）飞机在飞行过程中，能够收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的信息，根据这些信息可以比较精确地确定飞机的位置。如下图所示，高频多向导航设备（VOR）0yxVOR2x=629,y=375309.00(1.30)864.3(2.0)飞机x=?,y=?VOR1x=764,y=1393161.20(0.80)DMEx=155,y=987VOR3x=1571,y=25945.10(0.60)北DMEx=155,y=987第四题图：飞机与监控台（图中坐标和测量距离的单位是“公里”）能够得到飞机与该设备连线的角度信息；距离测量装置（DME）能够得到飞机与该设备的距离信息。图中飞机接收到来自3个VOR给出的角度和1个DME给出的距离（括号内是相应设备测量的精度，即绝对误差限），并已知这4种设备的x，y坐标（假设飞机和这些设备在同一平面上）。请你根据这些信息确定当前飞机的位置，要求建立相应的数学模型并给出解答。[提示：对角度信息进行处理时，可以考虑使用MATLAB的atan2函数。][提示：对角度信息进行处理时，可以考虑使用MATLAB的atan2函数。]考试课程数学实验2004.6.24下午班级学号姓名得分[说明]（1）第一、二、三题的答案直接填在试题纸上；（2）第四题将数学模型、简要解题过程和结果写在试题纸上；卷面空间不够时，请写在背面；（3）除非特别说明，所有计算结果小数点后保留4位数字。（4）考试时间为120分钟。一、（10分）已知一组数据x00.10.20.30.40.5y00.31.88.64.96.3用数值积分求x在（0,0.5）内y的积分为。根据表中数据，试建立20yxVOR2x=629,y=375309.00(1.30)861.3(2.0)飞机x=?,y=?VOR1x=764,y=1393161.20(0.80)DMEx=155,y=987VOR3x=1571,y=25945.10(0.60)北DMEx=155,y=987第四题图：飞机与监控台（图中坐标和测量距离的单位是“公里”）次多项式回归模型2210xxy，其回归系数为_______________,_____________,__________210。在显著性水平为0.05情况下有无异常数据（若有，请指出第几个点为异常数据）？。二、(10分)已知常微分方程组初值问题0)0(,1)0(,0)cos('''yyexyyx，试用数值方法求)4.0(y_______________________(保留小数点后6位数字)。你用的方法是________________，其精度为__________。三、(10分)已知线性代数方程组Ax=b,其中2501215152622310710A,4321xxxxx,1558b,若方程组右端项有小扰动]1.0,0,0,0[b，试根据误差估计式估计22xx_____________(保留小数点后5位数字)；若取初值]0,0,0,0[)0(x，则用高斯-赛德尔迭代法求解Ax=b时，)5(x_____________________，此迭代是否收敛___________。四、（20分）飞机在飞行过程中，能够收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的信息，根据这些信息可以比较精确地确定飞机的位置。如下图所示，高频多向导航设备（VOR）能够得到飞机与该设备连线的角度信息；距离测量装置（DME）能够得到飞机与该设备的距离信息。图中飞机接收到来自3个VOR给出的角度和1个DME给出的距离（括号内是相应设备测量的精度，即绝对误差限），并已知这4种设备的x，y坐标（假设飞机和这些设备在同一平面上）。请你根据这些信息确定当前飞机的位置，要求建立相应的数学模型并给出解答。[提示：对角度信息进行处理时，可以考虑使用MATLAB的atan2函数。]考试课程数学实验参考答案与评分标准2004.6.24A卷（班级-姓名-学号）一、1.7750;1.4821,5.5821,6.6071;第2个点为异常数据二、0.897892(或0.897893),龙格-库塔方法，3级2阶(ode23)(或5级4阶(ode45))三、0.06146,[1.0710,0.3790,-0.0007,-0.0608]’,收敛四、模型为2424244231)()(),(atan2),(yyxxdyyxxyxEMiniiiii得到飞机的坐标为（978.3070，723.9838），误差的平方和为0.6685。[附]主要程序示例：（fun为上述函数，程序略）X=[7466291571155];Y=[1393375259987];theta=[161.2,45.1,309.0-360]*2*pi/360;%角度转换sigma=[0.8,0.6,1.3]*2*pi/360;d4=864.3;%B卷为861.3sigma4=2;x0=[900,700];%初值[x,norm,res,exit,out]=lsqnonlin(@fun,x0,[],[],[],X,Y,theta,sigma,d4,sigma4)B卷（班级-学号-姓名）一、1.8750;-0.9821,28.5464,-27.3214;第4个点为异常数据二、0.831371(0.831373),龙格-库塔方法，3级2阶(ode23)(5级4阶(ode45))三、0.07726,[1.0610,0.3776,0.0026,-0.0600]’,收敛四、模型同A卷。计算结果：飞机的坐标为（975.2474，723.1857），误差的平方和为0.9132。评分标准：一、第一空4分，中间三空每空1分，最后一空3分。二、第一空6分，后两空每空2分。三、第一空3分，中间一空5分，最后一空2分。四、模型15分（基本拟合模型5分；角度转换正确5分；无量纲化处理正确5分）；计算结果5分（若因模型错误导致结果错误，可依计算方法或程序是否正确、完整给分，最多给3分；若无计算方法或程序的说明，则不给分）。考试课程数学实验参考答案与评分标准2004.6.24A卷（班级-姓名-学号）一、1.7750;1.4821,5.5821,6.6071;第2个点为异常数据二、0.897892(或0.897893),龙格-库塔方法，3级2阶(ode23)(或5级4阶(ode45))三、0.06146,[1.0710,0.3790,-0.0007,-0.0608]’,收敛四、模型为2424244231)()(),(atan2),(yyxxdyyxxyxEMiniiiii得到飞机的坐标为（978.3070，723.9838），误差的平方和为0.6685。[附]主要程序示例：（fun为上述函数，程序略）X=[7466291571155];Y=[1393375259987];theta=[161.2,45.1,309.0-360]*2*pi/360;%角度转换sigma=[0.8,0.6,1.3]*2*pi/360;d4=864.3;%B卷为861.3sigma4=2;x0=[900,700];%初值[x,norm,res,exit,out]=lsqnonlin(@fun,x0,[],[],[],X,Y,theta,sigma,d4,sigma4)B卷（班级-学号-姓名）一、1.8750;-0.9821,28.5464,-27.3214;第4个点为