证明角的关系专题

1、已知:菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF。求证：∠AEF=∠AFE。CADBEF23、如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．七、如图：在△ABC中AB=AC,在△BCE中BA平分∠CBE，且BC=2BE.求证：BE⊥AE（10分）CAEB4、如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）求EF的长．5.（2012四川南充6分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE=CD，求证：∠B=∠E3．如图所示，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上一点，由以上条件可以得到∠BDP=∠CDP吗？为什么？PDACB11．已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C.AFCDEB12．如图，已知在△ABC中，90C，点D是斜边AB的中点，2ABBC，DEAB交AC于E．求证：BE平分ABC．例1如图1，OC平分AOB，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE，求证：PDOPEO180。分析：要证PDOPEO180，PDO、PEO在图形的不同位置，又无平行线使它们联系起来，但若考虑设法把其中的一个角转化为另一个角的邻补角，问题便可以解决。由于OC是角平分线，故可过P点作两边的垂线，构造出两个直角三角形，再证明这两个三角形全等即可。证明：过点P作PMOA，PNOB，垂足分别为M、N因OC是角平分线，PMOA，PNOB，故PM=PN由PD=PE，PM=PN，得RtPMDRtPNEMDPNEP则PEOMDP，而MDPPDO180PDOPEO180点拨：遇到角平分线问题，我们可以过角平分线上的一点向这个角的两边引垂线，以便充分运用角平分线定理。例4如图2-6所示．∠A=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E．求证：∠AMB=∠DMC．ＢＤＡＥＣ分析1从图形观察∠AME与∠DMC所在的两个三角形△AME与△DMC显然不全等，但是这两个三角形中有其他相等元素：AM=MC．若能利用已知条件在现有的三角形中构造出新的对应相等的元素，形成全等三角形，这是理想不过的事．由于∠C=45°，∠A=90°，若作∠A的平分线AG，则在△AGM中，∠GAM=45°=∠C．结合求证中的∠AMB=∠DMC(这当然不能作为已知，但在分析中可以“当作已知”来考虑，以便寻找思路)，我们可以断言△AGM“应该”与△CDM全等！为此，只要在这两个三角形中求得一组边相等即可．图形及条件启发我们可考虑去证明△AGB≌△CDA．证法1作∠BAC的平分线AG，交BM于G．在△AGB与△CDA中，因为AB=CA，∠BAG=∠ACD=45°，∠ABG=90°-∠AMB，①∠MAD=90°-∠EAB．②由于，在Rt△MAB中，AE⊥BM，所以∠AMB=∠EAB．由①，②，∠ABG=∠MAD，所以△AGB≌△ADC(ASA)，于是AG=CD．在△AMG与△CMD中，还有AM=MC，∠GAM=∠DCM=45°，所以△AMG≌△CMD，从而∠AMB=∠DMC．分析2如图2-7所示．注意到在Rt△ABM中，由AE⊥BM得到∠MAE=∠MBA，若延长AE，过C作CF⊥AC交AE延长线于F，可构成Rt△ABM≌Rt△ACF，从而有∠AMB=∠F．设法证明∠DMC=∠F，则问题获解．证法2引辅助线如分析2所述．在Rt△ABM与Rt△CAF中，∠ABM=∠CAF，AB=AC，及∠BAM=∠ACF=90°，所以Rt△ABM≌Rt△CAF(ASA)，所以∠AMB=∠F，AM=CF．①在△MCD与△FCD中，FC=AM=MC(因为M是AC中点)．由于∠ACF=90°，∠ACB=45°，所以∠FCD=∠MCD=45°，CD=CD，所以△FCD≌△MCD(SAS)，所以∠F=∠DMC．②由①，②∠AMB=∠DMC．说明这两个证法的思路较为复杂．添加辅助线的结果造出两对全等三角形，第一对全等三角形产生一些对应相等的元素，为第二对全等三角形做了铺垫；第一对全等三角形将欲证的一个角“转移”到第二对全等三角形中，从而最后使问题获解．对一些较复杂的问题采用迂回的办法，因势利导地创造全等三角形，产生更多的相等条件，使欲证的角(或边)转移位置，走出“死角”，最终使问题获解．51、（09湖北宜昌）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．(1)求证：AB=CD；(2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．4．如图2-13所示．△ABC的高AD与BE相交于H，且BH=AC．求证：∠BCH=∠ABC．20、已知：如图，P是△ABC内任一点，求证：∠BPC＞∠A．FMPEDCBA13、如图，在中，是∠ABC的平分线，，垂足为。求证：。26、如图，已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA求证：EF平分∠BED.54321ADFCEB27、如图，已知：CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1＝∠2，求证：FG∥BCABCDFNPM21GFEDCBA21．已知：如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F．求证：BP为∠MBN的平分线。A11．已知；如图，，，且、垂足分别为CDBDCBACDCABDB,,求证：BACAD平分CADB25、如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．16、如图，分别是外角和的平分线，它们交于点。求证：为的平分线。16、过作于，于，于平分，于，于平分，于，于，，且于，于为的平分线。（3）若AD又是△AMC的角平分线，∠AMB=130°，求∠ACB的度数．5．如图所示，在△ABC中，∠ABC=110°，∠ACB=40°，CE是∠ACB的角平分线，D是AC上一点，若∠CBD=40°，求∠CED的度数。8．在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,M是AC边上的中点，AD⊥BM交BC于D,交BM于E.求证：∠AMB=∠DMC1.如图所示，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且∠AMD=90°，DM平分∠ADC。求证：AM平分∠DABADCBEBAEMCD23、已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝900，AD⊥BC于D，E是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G点，求证：∠B＝∠CFD29．如图，BD、CE为△ABC的高，求证∠AED＝∠ACB．【提示】先证△ABD∽△ACE，再证△ADE∽△ABC．【答案】∵∠ADB＝∠AEC＝90°，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE．∴AEAD＝ACAB．又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC．∴∠AED＝∠ACB．【点评】本题要求运用相似三角形的判定与性质．ABBMDCABCDEFG