自控原理练习题

2.1系统结构图如图1所示，试确定传递函数C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)H2(s)H1(s)R(s)C(s)__G3(s)图12132112()()()1()GGGCsRsGHGH2.2系统结构图如图1所示，试确定传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。1212121()()1GGCsRsGGGGH23112()()1(1)GGCsNsGHG例3-10某系统在输入信号r(t)=(1+t)1(t)作用下，测得输出响应为：tettc109.0)9.0()(（t≥0）已知初始条件为零，试求系统的传递函数)(s。解因为22111)(sssssR)10()1(10109.09.01)]([)(22sssssstcLsC故系统传递函数为11.01)()()(ssRsCs例3-12设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。解首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，而是3。系统模型为2223()2nnnsss然后由响应的%pM、pt及相应公式，即可换算出、n。%33334)()()(%cctcMpp1.0pt（s）由公式得2/1%33%pMe20.11pnt4300.1t图3-34二阶控制系统的单位阶跃响应h(t)换算求解得：0.33、2.33n例3-18已知系统特征方程为0161620128223456ssssss试求：（1）在s右半平面的根的个数；（2）虚根。解如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点对称的实根，共轭虚根或（和）共轭复数根。此时，可利用上一行的系数构成辅助多项式，并对辅助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部为零的一行，继续计算劳斯行列表。对原点对称的根可由辅助方程（令辅助多项式等于零）求得。劳斯行列表为6s1820165s212164s212163s00由于3s行中各项系数全为零，于是可利用4s行中的系数构成辅助多项式，即16122)(24sssP求辅助多项式对s的导数，得ssssdP248)(3原劳斯行列表中s3行各项，用上述方程式的系数，即8和24代替。此时，劳斯行列表变为6s18205s212164s212163s8242s6161s2.670s16新劳斯行列表中第一列没有变号，所以没有根在右半平面。对原点对称的根可解辅助方程求得。令01612224ss得到2js和2js例3-19单位反馈控制系统的开环传递函数为)1)(1()(2csbsassKsG试求：（1）位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数；（2）当参考输入为)(1tr，)(1trt和)(12trt时系统的稳态误差。解根据误差系数公式，有位置误差系数为)1)(1(lim)(lim200csbsassKsGKssp速度误差系数为KcsbsassKsssGKssv)1)(1(lim)(lim200加速度误差系数为0)1)(1(lim)(lim22020csbsassKssGsKssa对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。参考输入为)(1tr，即阶跃函数输入时系统的稳态误差为011rKrepss参考输入为)(1trt，即斜坡函数输入时系统的稳态误差为KrKrevss参考输入为)(12trt，即抛物线函数输入时系统的稳态误差为022rKreass例3-20单位反馈控制系统的开环传递函数为)1)(1(10)(21sTsTssG输入信号为r（t）=A+ωt，A为常量，ω=0.5弧度/秒。试求系统的稳态误差。解实际系统的输入信号，往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。此时，输入信号的一般形式可表示为221021)(trtrrtr系统的稳态误差，可应用叠加原理求出，即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差的总和。所以，系统的稳态误差可按下式计算：avpssKrKrKre2101对于本例，系统的稳态误差为vpssKKAe1本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，即系统为1型系统，所以pK10)1)(1(10lim)(lim2100sTsTssssGKssv系统的稳态误差为05.0105.0101011AKKAevpss例3-23设复合控制系统如图3-38所示。其中1221KK，sT25.02，132KK试求)(1)2/1()(2ttttr时，系统的稳态误差。解闭环传递函数)1(22sTsKK1R(s)图3-38复合控制系统24)5.0(41)(221222113sssKKssTKKsKKs等效单位反馈开环传递函数2)12(2)(1)()(sssssG表明系统为II型系统，且2KKa当)(1)2/1()(2ttttr时，稳态误差为5.0/1assKe例4-1设系统的开环传递函数为)2)(1(2)()(sssKsHsG试绘制系统的根轨迹。解根据绘制根轨迹的法则，先确定根轨迹上的一些特殊点，然后绘制其根轨迹图。（1）系统的开环极点为0，1，2是根轨迹各分支的起点。由于系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。（2）系统的根轨迹有3mn条渐进线渐进线的倾斜角为03180)12()12(KmnKa取式中的K=0，1，2，得φa=π/3，π，5π/3。渐进线与实轴的交点为13)210(111miinjjazpmn三条渐近线如图4-13中的虚线所示。（3）实轴上的根轨迹位于原点与－1点之间以及－2点的左边，如图4-13中的粗实线所示。（4）确定分离点系统的特征方程式为022323Ksss即)23(2123sssK利用0/dsdK，则有0)26(2123ssdsdK解得423.01s和577.12s由于在－1到－2之间的实轴上没有根轨迹，故s2=－1.577显然不是所要求的分离点。因此，两个极点之间的分离点应为s1=－0.423。（5）确定根轨迹与虚轴的交点方法一利用劳斯判据确定劳斯行列表为3s122s32K1s326K00s2K由劳斯判据，系统稳定时K的极限值为3。相应于K=3的频率可由辅助方程0632322sKs确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为2js。根轨迹与虚轴交点处的频率为41.12方法二令js代入特征方程式，可得02)(2)(3)(23Kjjj即0)2()32(22jK令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即0322K，022所以23K（6）确定根轨迹各分支上每一点的K值根据绘制根轨迹的基本法则，当从开环极点0与－1出发的两条根轨迹分支向右运动时，从另一极点－2出发的根轨迹分支一定向左移动。当前两条根轨迹分支和虚轴在K=3处相交时，可按式3)41.10()41.10(jjx求出后一条根轨迹分支上K=3的点为οx=－3。由（4）知，前两条根轨迹分支离开实轴时的相应根值为－0.423±j0。因此，后一条根轨迹分支的相应点为3)423.0()423.0(x所以，οx=－2.154。因本系统特征方程式的三个根之和为－2K，利用这一关系，可确定根轨迹各分支上每一点的K值。现在已知根轨迹的分离点分别为－0.423±j0和－2.154，该点的K值为)154.2()423.0(22K即，K=0.195。系统的根轨迹如图4-1所示。例4-6已知控制系统如图4-18所示图4-1例4-1系统的根轨迹S平面σωj图4-6图3-10标准化二阶系统R(s)C(s)4)15.0(sK（1）试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性。（2）估算%3.16%pM时的K值。解44)2()2(16)(sKsKsGg（1）系统有四个开环重极点：p1=p2=p3=p4=0。没有零点。实轴上除－2一点外，没有根轨迹段。根轨迹有四条渐进线，与实轴的交点及夹角分别为248a44)12(Ka，43下面证明根轨迹和渐近线是完全重合的。将根轨迹上任一点s=s1代入幅角方程，有)12()2(41Ks即)12(41)2(1Ks和渐近线方位角a的表达式比较，两者相等，于是有as)2(1由于s1的任意性，因此根轨迹和渐近线完全重合。系统的根轨迹如图4-7所示。图知，随着Kg的增加，有两条根轨迹将与虚轴分别交于j2和－j2处。将s=j2代入幅值方程有1|)2(|4sKg解得开环根增益：Kgc=64，开环增益：Kc=Kg/16=4．即当Ｋ＝４时，闭环系统有一对虚根±j２，系统处于临界稳定的状态。当K4时，闭环系统将出现一对实部为正的复数根，系统不稳定。所以，使系统稳定的开环增益范围为0K4。（2）由超调量的计算公式及指标要求，有%3.16%21eMp解得，5.0S平面σ图4-7例4-6系统的根轨迹j即，系统闭环极点的阻尼角为605.0coscos11。在s平面上做等阻尼线OA，使之与负实轴夹角为β=±60°。OA与根轨迹相交于s1点，容易求得，s1=－0.73+j1.27，代入幅值方程，有41.10|)227.173.0(|4jKg65.016/41.10K注意：本题应用二阶欠阻尼系统的超调量和阻尼比关系式估算四阶系统的性能指标，实际上是利用了闭环主导极点的概念。不难验证，本系统的闭环极点的分布满足主导极点的分布要求。可以认为s1、s2是主导极点，忽略s3、s4的作用，从而将一个复杂的四阶系统近似为二阶系统，大大简化了问题的处理过程。例5-1已知一控制系统结构图如图5-61所示，当输入r(t)=2sint时，测得输出c(t)=4sin(t45)，试确定系统的参数，n。解系统闭环传递函数为222()2nnnsss系统幅频特性为2222222()()4nnnj相频特性为222()arctannn由题设条件知c(t)=4sin(t45)=2A(1)sin(t+(1))即22222221(1)()4nnnA222222(1)4nnn2212(1)arctannn22arctan451nn整理得422224[(1)4]nnn221nn解得n=1.244=0.22例5-25最小相位系统对数幅频渐近特性如图5-65所示，请确定系统的传递函数。解:由图知在低频段渐近线斜率为0，故系统为0型系统。渐近特性为分段线性函数，在各交接频率处，渐近特性斜率发生变化。在=0.1处，斜率从0dB/dec变为20dB/dec，属于一阶微分环节。在=1处，斜率从20dB/dec变为0dB/dec，属于惯性环节。在=2处，斜率从0dB/dec变为20dB/dec，属于惯性环节。在=3处，斜率从20dB/dec变为40dB/dec，属于惯性环节。在=4处，斜率从40dB/dec变为60dB/dec，属于惯性环节。因此系统的传递函数具有下述形式)1/)(1/)(1/)(1/()11.0/((4321sssssKsG）式中K，1，2，3，4待定。由20lgK=30得K=31.62。确定1：1.0lglg3040201所以1=0.316确定2：4lg100lg0560所以2=82.54确定3：34lglg2054