运用向量方法解数学竞赛题

1运用向量方法解数学竞赛题2008．71．在一张小方格边长都是1的方格纸上放有一个凸32边形，若它的顶点都在方格的结点上．问它的最小周长是多少？2．证明ABC的外心O，重心G，垂心H三点共线，且:1:2OGGH．3在凸四边形ABCD的边AB，BC，CD和DA的延长线上取点',',','ABCD，使得',',',',BBABCCBCDDCDAADA．证明：四边形''''ABCD的面积等于四边形ABCD面积的5倍．4在平面上给出n个向量，每个向量的长度等于1，所有n个向量的和为零向量．证明：可以这样给向量标记号码，使对于所有的1,2,3,,kn，满足以下条件：前k个向量的和的长度不大于2．5．在平面上已知三个半径相同的圆，（1）证明：如果它们相交于一点，如图1，那么弧,,ADBDCD的和等于180o；（2）证明：如果它们不相交于一点，如图2，那么弧,,ABCDEF的和等于180o．26．在平面上，已知向量,,,abcd，它们的和等于0．证明不等式：||||||||||||||abcdadbdcd．7．在空间经过点O作2009条直线122009,,,lll，它们中的任何两条不垂直，在直线1l上取不同于O的任意一点1A，证明：能在(2,3,,2009)ili上分别选择点iA，使得下面的关系式成立：13224335411200812009200921,,,,,,,iiiAAlAAlAAlAAlAAlAAl．8．在平面上的2008个向量，它们之间不全共线．已知：任意的2007个向量之和都与余下的那个向量共线，证明：这2008个向量之和一定为零向量．9．平面上有一个正n边形12nAAA，（1）证明：如果n是偶数，那么对于平面上任意的点M，对表达式12nMAMAMA都能选择其中的加号和减号，使得到的和为0；（2）证明：如果n是奇数，那么只对平面上有限个点M，对表达式12nMAMAMA能选择其中的加号和减号，使得到的和为0．10．如果四边形,,,,ACPHAMBEAHBTBKXMCKXP都是平行四边形，证明：ABTE也是平行四边形．（各四边形的顶点都按逆时针方向给出）．311．在ABC的内部选择任意一点O，证明以下等式成立：0BOCCOAAOBSOASOBSOC．12．（1）点A和点B分别沿着1O和2O同时以相同的角速度按顺时针方向运动，证明：正三角形ABC的顶点C也同样沿着某一圆周作等速运动．（2）由平面上的定点P到某个正三角形的两顶点的距离为2,3APBP，试确定PC可能的最大长度．13．平面上有两个等边三角形123AAA和123BBB，而且字母的顺序都是逆时针方向．从任意的点O作向量,,OAOBOC，分别等于112233,,ABABAB，证明ABC是等边三角形．14．利用向量方法，求cos5cos77cos149cos221cos293ooooo的值．15．在平面上作出凸五边形ABCDE，作点A关于点B的对称点1A，作点B关于点C的对称点1B，……，作点E关于点A的对称点1E，然后抹去五边形ABCDE．证明：只要知道点11111,,,,ABCDE的位置，借助于圆规和直尺就能恢复五边形ABCDE．416．如图，设12,,,nPPP是单位圆O上的任意n个点，求证：在圆O上至少可以找到一个点M，使12nMPMPMPn．17．设12,,,nPPP是圆内接正n边形的顶点，P是圆O上的任意点，求证：2222123nPPPPPPPP为定值．18．是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？19．设1234AAAA为圆O的内接四边形，1234,,,HHHH依次是234341412123,,,AAAAAAAAAAAA的垂心，求证1234,,,HHHH四点在同一圆上，并请定出该圆的圆心．